Addizioni e sottrazioni di frazioni

Theory used: Addizione e sottrazione di frazioni Minimo comune denominatore Segno di una frazione Semplificazione e frazione ai minimi termini

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Esercizio 1

Calcola $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8}$ e $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}$ .

\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3 + 1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

\begin{aligned} \frac{2}{5} + \frac{1}{3} &= \frac{6}{15} + \frac{5}{15} \\[6pt] &= \frac{6 + 5}{15} = \frac{11}{15} \end{aligned}

Nella prima somma le due frazioni hanno lo stesso denominatore, quindi si sommano i numeratori e si lascia il denominatore $8$ . Il risultato $\dfrac{4}{8}$ si semplifica dividendo per $4$ , e diventa $\dfrac{1}{2}$ .

Nella seconda somma i denominatori $5$ e $3$ sono diversi. Il loro minimo comune multiplo è $15$ , perché sono numeri primi diversi. Poiché $15 : 5 = 3$ , la frazione $\dfrac{2}{5}$ diventa $\dfrac{2 \cdot 3}{15} = \dfrac{6}{15}$ ; poiché $15 : 3 = 5$ , la frazione $\dfrac{1}{3}$ diventa $\dfrac{5}{15}$ . Sommando i numeratori si ottiene $\dfrac{11}{15}$ , che è già ridotta ai minimi termini.

Esercizio 2

Calcola $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}$ .

\operatorname{mcm}(6, 4, 3) = 12

\begin{aligned} \frac{5}{6} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} &= \frac{10}{12} - \frac{9}{12} + \frac{4}{12} \\[6pt] &= \frac{10 - 9 + 4}{12} \\[6pt] &= \frac{5}{12} \end{aligned}

I denominatori sono $6 = 2 \cdot 3$ , $4 = 2^2$ e $3$ . Il minimo comune multiplo prende $2$ con l’esponente maggiore e il fattore $3$ , quindi vale $2^2 \cdot 3 = 12$ .

Ogni frazione si porta al denominatore $12$ . Si moltiplica per $2$ in $\dfrac{5}{6}$ , per $3$ in $\dfrac{3}{4}$ e per $4$ in $\dfrac{1}{3}$ . Le operazioni sui numeratori si eseguono da sinistra verso destra, perciò $10 - 9 = 1$ e poi $1 + 4 = 5$ . Il risultato è $\dfrac{5}{12}$ .

Esercizio 3

Calcola $3 - \dfrac{7}{4} + \dfrac{5}{6}$ .

3 = \frac{3}{1} , \qquad \operatorname{mcm}(1, 4, 6) = 12

\begin{aligned} 3 - \frac{7}{4} + \frac{5}{6} &= \frac{36}{12} - \frac{21}{12} + \frac{10}{12} \\[6pt] &= \frac{36 - 21 + 10}{12} \\[6pt] &= \frac{25}{12} \end{aligned}

Il numero intero $3$ si scrive come frazione con denominatore $1$ . Il minimo comune multiplo di $4$ e $6$ è $12$ , quindi $3 = \dfrac{3 \cdot 12}{12} = \dfrac{36}{12}$ , $\dfrac{7}{4} = \dfrac{21}{12}$ e $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$ .

Al numeratore si calcola $36 - 21 = 15$ e poi $15 + 10 = 25$ . Il risultato $\dfrac{25}{12}$ è una frazione impropria, perché $25 > 12$ . I numeri $25 = 5^2$ e $12 = 2^2 \cdot 3$ non hanno fattori primi comuni, perciò la frazione è ridotta ai minimi termini.

Esercizio 4

Calcola $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6}$ .

\begin{aligned} -\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{6} &= -\frac{8}{12} + \frac{3}{12} - \frac{10}{12} \\[6pt] &= \frac{-8 + 3 - 10}{12} \\[6pt] &= \frac{-15}{12} \\[6pt] &= -\frac{5}{4} \end{aligned}

Il minimo comune denominatore di $3$ , $4$ e $6$ è $12$ . Le tre frazioni diventano $\dfrac{8}{12}$ , $\dfrac{3}{12}$ e $\dfrac{10}{12}$ , e ciascuna conserva il proprio segno.

Al numeratore si sommano numeri relativi. I numeri $-8$ e $3$ hanno segni diversi, quindi si sottraggono i loro valori assoluti, $8 - 3 = 5$ , e si tiene il segno di $-8$ . Perciò $-8 + 3 = -5$ , e poi $-5 - 10 = -15$ .

Il numeratore è negativo e il denominatore è positivo, quindi per la regola dei segni la frazione è negativa. Infine $15$ e $12$ si dividono per $3$ , e il risultato è $-\dfrac{5}{4}$ .