Scomposizioni in fattori primi

Theory used: Scomposizione in fattori primi Schema in colonna Divisibilità per 2, 5 e 10 Divisibilità per 3 e per 9 Divisibilità per 11

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Esercizio 1

Scomponi in fattori primi il numero $84$ .

\begin{array}{r|l} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}

84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7

Il numero $84$ termina con $4$ , quindi è pari e si divide per $2$ , ottenendo $42$ . Anche $42$ è pari, e $42 : 2 = 21$ . Il numero $21$ è dispari e ha somma delle cifre $3$ , perciò si divide per $3$ e si ottiene $7$ . Il numero $7$ è primo, quindi si divide per sé stesso e si arriva a $1$ .

I fattori primi sono i numeri della colonna di destra. Il $2$ compare due volte e si scrive come potenza, perciò la scomposizione è $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ .

Esercizio 2

Scomponi in fattori primi il numero $300$ .

\begin{array}{r|l} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}

300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2

Il numero $300$ è pari, quindi si divide per $2$ e si ottiene $150$ ; anche $150$ è pari e $150 : 2 = 75$ . Il numero $75$ è dispari e ha somma delle cifre $12$ , che è multiplo di $3$ , perciò si divide per $3$ e si ottiene $25$ . Il numero $25$ non è divisibile per $3$ , perché la somma delle cifre è $7$ , ma termina con $5$ , quindi si divide due volte per $5$ .

Il $2$ e il $5$ compaiono due volte ciascuno, perciò $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ . Lo stesso risultato si ottiene scrivendo $300 = 3 \cdot 100$ e $100 = 2^2 \cdot 5^2$ , dato che la scomposizione è unica.

Esercizio 3

Scomponi in fattori primi il numero $1\,008$ .

\begin{array}{r|l} 1008 & 2 \\ 504 & 2 \\ 252 & 2 \\ 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}

1\,008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7

Il numero $1\,008$ è pari. Dividendo per $2$ si ottiene $504$ , poi $504 : 2 = 252$ , poi $252 : 2 = 126$ e $126 : 2 = 63$ , perché tutti questi quozienti sono pari. Il numero $63$ è dispari, quindi il $2$ compare esattamente quattro volte.

La somma delle cifre di $63$ è $9$ , perciò $63$ è divisibile per $3$ e $63 : 3 = 21$ . Anche $21$ ha somma delle cifre multipla di $3$ , e $21 : 3 = 7$ , che è primo. Quindi il $3$ compare due volte e la scomposizione è $1\,008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7$ . Moltiplicando i fattori si ritrova il numero di partenza, perché $16 \cdot 9 = 144$ e $144 \cdot 7 = 1\,008$ .

Esercizio 4

Scomponi in fattori primi il numero $2\,145$ .

\begin{array}{r|l} 2145 & 3 \\ 715 & 5 \\ 143 & 11 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array}

2\,145 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13

Il numero $2\,145$ è dispari, quindi non è divisibile per $2$ . La somma delle cifre è $2 + 1 + 4 + 5 = 12$ , multiplo di $3$ , perciò si divide per $3$ e si ottiene $715$ . La somma delle cifre di $715$ è $13$ , che non è multiplo di $3$ , mentre l’ultima cifra è $5$ ; quindi si divide per $5$ e si ottiene $143$ .

Il numero $143$ è dispari, ha somma delle cifre $8$ e termina con $3$ , quindi non è divisibile per $2$ , per $3$ né per $5$ . Non è divisibile neanche per $7$ , perché $7 \cdot 20 = 140$ e il resto è $3$ . Si usa allora il criterio di divisibilità per $11$ . Le cifre di posto dispari sono $3$ e $1$ , con somma $4$ , e la cifra di posto pari è $4$ . La differenza è $0$ , quindi $143$ è divisibile per $11$ , e $143 : 11 = 13$ , che è primo. Perciò $2\,145 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$ .