Calcolo del minimo comune multiplo

Theory used: Minimo comune multiplo Calcolo del mcm con la scomposizione Prodotto di MCD e mcm Calcolo del MCD con la scomposizione

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Esercizio 1

Calcola $\operatorname{mcm}(6, 8)$ con l’elenco dei multipli.

\text{multipli di } 6: \quad 6, 12, 18, 24, 30, \dots

\text{multipli di } 8: \quad 8, 16, 24, 32, \dots

\operatorname{mcm}(6, 8) = 24

Si scrivono i multipli diversi da $0$ dei due numeri, aggiungendo ogni volta $6$ nel primo elenco e $8$ nel secondo. I numeri $12$ e $18$ non sono multipli di $8$ , e $16$ non è multiplo di $6$ . Il primo numero che compare in entrambi gli elenchi è $24$ , quindi il minimo comune multiplo è $24$ .

Esercizio 2

Calcola $\operatorname{mcm}(18, 24)$ con la scomposizione in fattori primi.

18 = 2 \cdot 3^2, \qquad 24 = 2^3 \cdot 3

\begin{aligned} \operatorname{mcm}(18, 24) &= 2^3 \cdot 3^2 \\[6pt] &= 8 \cdot 9 \\[6pt] &= 72 \end{aligned}

Il numero $18$ si scompone in $2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$ , e il numero $24$ in $8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$ . Per la regola del mcm si prendono tutti i fattori che compaiono, comuni e non comuni, ciascuno con l’esponente maggiore. Il $2$ ha esponente $1$ in $18$ e $3$ in $24$ , quindi si prende $2^3$ . Il $3$ ha esponente $2$ in $18$ e $1$ in $24$ , quindi si prende $3^2$ .

Il risultato è $8 \cdot 9 = 72$ . Infatti $72 = 18 \cdot 4$ e $72 = 24 \cdot 3$ , quindi $72$ è multiplo di entrambi i numeri.

Esercizio 3

Calcola $\operatorname{mcm}(12, 20, 45)$ .

12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 20 = 2^2 \cdot 5, \qquad 45 = 3^2 \cdot 5

\begin{aligned} \operatorname{mcm}(12, 20, 45) &= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \\[6pt] &= 4 \cdot 9 \cdot 5 \\[6pt] &= 180 \end{aligned}

Nelle tre scomposizioni compaiono i fattori $2$ , $3$ e $5$ . L’esponente maggiore del $2$ è $2$ , in $12$ e in $20$ . L’esponente maggiore del $3$ è $2$ , in $45$ . L’esponente maggiore del $5$ è $1$ . Perciò il mcm è $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

Il prodotto si calcola in due passi, $4 \cdot 9 = 36$ e $36 \cdot 5 = 180$ . Infatti $180 = 12 \cdot 15 = 20 \cdot 9 = 45 \cdot 4$ .

Esercizio 4

Calcola $\operatorname{MCD}(40, 56)$ e $\operatorname{mcm}(40, 56)$ , e controlla che il loro prodotto sia uguale a $40 \cdot 56$ .

40 = 2^3 \cdot 5, \qquad 56 = 2^3 \cdot 7

\operatorname{MCD}(40, 56) = 2^3 = 8

\operatorname{mcm}(40, 56) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 280

\begin{aligned} 8 \cdot 280 &= 2\,240 \\[6pt] 40 \cdot 56 &= 2\,240 \end{aligned}

L’unico fattore comune è il $2$ , con esponente $3$ in entrambi i numeri, quindi il MCD è $2^3 = 8$ . Nel mcm entrano tutti i fattori, $2^3$ , $5$ e $7$ , e si ottiene $8 \cdot 35 = 280$ .

Il prodotto del MCD per il mcm è $8 \cdot 280 = 2\,240$ . Il prodotto dei due numeri è $40 \cdot 56 = 2\,240$ , perché $40 \cdot 50 = 2\,000$ e $40 \cdot 6 = 240$ . I due prodotti sono uguali, come prevede la regola del prodotto di MCD e mcm, quindi il calcolo è confermato.