Campi magnetici prodotti da più fili

Theory used: Legge di Biot-Savart Campo di due fili paralleli Vettori perpendicolari al foglio

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Esercizio 1

Due fili rettilinei indefiniti e paralleli, perpendicolari al foglio, distano $d = 10\,\mathrm{cm}$ . Il filo $1$ è percorso dalla corrente $I_1 = 6{,}0\,\mathrm{A}$ uscente dal foglio ( $\odot$ ), il filo $2$ dalla corrente $I_2 = 4{,}0\,\mathrm{A}$ entrante nel foglio ( $\otimes$ ). Calcola il campo magnetico nel punto medio $M$ del segmento che congiunge i fili. ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} , \qquad B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r} , \qquad r = \frac{d}{2} = 0{,}050\,\mathrm{m}

\begin{aligned} B_1 &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6{,}0}{0{,}050}\,\mathrm{T} = 2{,}4 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \\[6pt] B_2 &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 4{,}0}{0{,}050}\,\mathrm{T} = 1{,}6 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \end{aligned}

B = B_1 + B_2 = 4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}

Per il principio di sovrapposizione il campo in $M$ è la somma vettoriale dei campi dei due fili, e ciascun campo si calcola con la legge di Biot-Savart alla distanza $r = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ .

Per i versi si mette il filo $1$ a sinistra e il filo $2$ a destra. La corrente $I_1$ esce dal foglio, quindi per la regola della mano destra le sue linee di campo sono percorse in verso antiorario; nel punto $M$ , che sta a destra del filo $1$ , il campo $\vec{B}_1$ è rivolto verso l’alto. La corrente $I_2$ entra nel foglio, quindi le sue linee sono percorse in verso orario; nel punto $M$ , che sta a sinistra del filo $2$ , anche $\vec{B}_2$ è rivolto verso l’alto. I due campi sono concordi, perciò i moduli si sommano e il campo in $M$ vale $4{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , perpendicolare alla congiungente dei fili. Nei punti compresi tra due fili con correnti discordi i due campi hanno sempre lo stesso verso e si sommano.

Esercizio 2

Due fili rettilinei indefiniti e paralleli distano $d = 10\,\mathrm{cm}$ e sono percorsi nello stesso verso dalle correnti $I_1 = 6{,}0\,\mathrm{A}$ e $I_2 = 2{,}0\,\mathrm{A}$ . Determina il punto della congiungente dei fili in cui il campo magnetico è nullo.

B_1 = B_2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi\,(d - x)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{I_1}{x} = \frac{I_2}{d - x}

I_1\,(d - x) = I_2\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{I_1\,d}{I_1 + I_2}

x = \frac{6{,}0 \cdot 10}{6{,}0 + 2{,}0}\,\mathrm{cm} = 7{,}5\,\mathrm{cm}

Le correnti sono concordi, per esempio entrambe uscenti dal foglio. Per la regola della mano destra, in un punto tra i due fili il campo del filo $1$ e il campo del filo $2$ hanno versi opposti, mentre all’esterno del segmento hanno lo stesso verso. Il campo totale può quindi annullarsi solo tra i due fili, nel punto in cui i due moduli sono uguali.

Si indica con $x$ la distanza del punto dal filo $1$ , così che la distanza dal filo $2$ è $d - x$ . Uguagliando i due moduli, il fattore $\dfrac{\mu_0}{2\pi}$ si semplifica. Moltiplicando in croce si ottiene un’equazione di primo grado, che dà $x = 7{,}5\,\mathrm{cm}$ . Il punto di campo nullo si trova perciò a $7{,}5\,\mathrm{cm}$ dal filo $1$ e a $2{,}5\,\mathrm{cm}$ dal filo $2$ , cioè più vicino al filo con la corrente minore. Come controllo, $\dfrac{6{,}0}{7{,}5} = \dfrac{2{,}0}{2{,}5} = 0{,}80$ , quindi i due campi hanno lo stesso modulo.

Esercizio 3

Due fili rettilinei indefiniti, perpendicolari al foglio, passano per i punti $1$ e $2$ , che distano $8{,}0\,\mathrm{cm}$ . Entrambi sono percorsi da correnti uscenti dal foglio: $I_1 = 3{,}0\,\mathrm{A}$ e $I_2 = 5{,}0\,\mathrm{A}$ . Il punto $P$ dista $6{,}0\,\mathrm{cm}$ dal filo $1$ , sulla perpendicolare alla congiungente dei fili passante per il filo $1$ . Calcola modulo e direzione del campo magnetico in $P$ . ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ )

Le correnti escono dal foglio (

⊙

): in

P

il campo

B_{1}

è perpendicolare alla congiungente con il filo

1

, il campo

B_{2}

alla congiungente con il filo

2

, e il campo totale

B

è la loro somma

r_1 = 6{,}0\,\mathrm{cm} , \qquad r_2 = \sqrt{8{,}0^2 + 6{,}0^2}\,\mathrm{cm} = 10\,\mathrm{cm}

\begin{aligned} B_1 &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 3{,}0}{0{,}060}\,\mathrm{T} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \\[6pt] B_2 &= \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 5{,}0}{0{,}10}\,\mathrm{T} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \end{aligned}

\vec{B}_1 = (-1{,}0;\ 0) \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} , \qquad \vec{B}_2 = B_2 \left( -\frac{6{,}0}{10};\ -\frac{8{,}0}{10} \right) = (-0{,}60;\ -0{,}80) \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}

\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = (-1{,}6;\ -0{,}80) \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}

B = \sqrt{1{,}6^2 + 0{,}80^2} \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} \approx 1{,}8 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T} , \qquad \tan\alpha = \frac{0{,}80}{1{,}6} = 0{,}50 \quad\Longrightarrow\quad \alpha \approx 27^\circ

Si sceglie un sistema di riferimento con l’origine nel filo $1$ , l’asse $x$ verso il filo $2$ e l’asse $y$ verso $P$ , così che il filo $2$ è in $(8{,}0;\ 0)$ e $P$ in $(0;\ 6{,}0)$ , in centimetri. La distanza di $P$ dal filo $2$ si calcola con il teorema di Pitagora e vale $10\,\mathrm{cm}$ . Con la legge di Biot-Savart i due campi risultano entrambi di $1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

Le correnti escono dal foglio, quindi le linee di campo di ciascun filo sono circonferenze percorse in verso antiorario, e in $P$ ogni campo è tangente alla circonferenza passante per $P$ , cioè perpendicolare al raggio che congiunge il filo con $P$ . Il raggio dal filo $1$ a $P$ è verticale verso l’alto, perciò $\vec{B}_1$ è orizzontale e, per il verso antiorario, rivolto verso sinistra. Il raggio dal filo $2$ a $P$ ha la direzione del versore $\left( -\dfrac{8{,}0}{10};\ \dfrac{6{,}0}{10} \right)$ ; ruotandolo di $90^\circ$ in verso antiorario si ottiene il versore $\left( -\dfrac{6{,}0}{10};\ -\dfrac{8{,}0}{10} \right)$ , che dà la direzione di $\vec{B}_2$ .

Per il principio di sovrapposizione si sommano le componenti. Il campo totale ha modulo $1{,}8 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ed è rivolto verso sinistra e verso il basso, formando con la direzione negativa dell’asse $x$ un angolo $\alpha \approx 27^\circ$ .