Contrazione delle lunghezze

Theory used: Contrazione delle lunghezze Lunghezza propria Dilatazione dei tempi Fattore di Lorentz

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Esercizio 1

Un’astronave lunga $120\,\mathrm{m}$ , misurata dall’equipaggio, passa davanti a una stazione spaziale con velocità $v = 0{,}80\,c$ . Calcola la lunghezza dell’astronave misurata dalla stazione e il tempo che, per la stazione, l’astronave impiega a passare davanti a un suo oblò. Si usi $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

L'astronave passa con velocità

v

davanti all'oblò

P

della stazione; per la stazione la sua lunghezza è

L = \frac{L _{0}}{γ}

L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} , \qquad \Delta t = \frac{L}{v}

L = 120\,\mathrm{m} \cdot \sqrt{1 - 0{,}80^2} = 120\,\mathrm{m} \cdot 0{,}60 = 72\,\mathrm{m}

\Delta t = \frac{72}{0{,}80 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}\,\mathrm{s} = 3{,}0 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{s}

La lunghezza $L_0 = 120\,\mathrm{m}$ è misurata dall’equipaggio, cioè nel sistema in cui l’astronave è ferma, quindi è la lunghezza propria. La stazione vede l’astronave muoversi lungo la direzione della sua lunghezza, perciò per la contrazione delle lunghezze misura $L = \dfrac{L_0}{\gamma}$ . Con $\beta = 0{,}80$ la radice $\sqrt{1 - \beta^2}$ vale $0{,}60$ , e la lunghezza misurata dalla stazione è $72\,\mathrm{m}$ .

Per la stazione l’astronave è lunga $72\,\mathrm{m}$ e si muove con velocità $v$ , quindi la testa e la coda passano davanti all’oblò a distanza di tempo $\dfrac{L}{v}$ , che vale $0{,}30\,\mu\mathrm{s}$ . I due passaggi avvengono nello stesso punto $P$ della stazione, perciò questo intervallo è un tempo proprio per la stazione.

Esercizio 2

Un’asta lunga $1{,}00\,\mathrm{m}$ nel proprio sistema di quiete si muove lungo la propria direzione rispetto a un laboratorio. Determina la velocità dell’asta se nel laboratorio la sua lunghezza misura $50\,\mathrm{cm}$ . Si usi $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

\frac{L}{L_0} = \sqrt{1 - \beta^2} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \beta^2 = \left( \frac{L}{L_0} \right)^2 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{L}{L_0} \right)^2}

\beta = \sqrt{1 - 0{,}50^2} = \sqrt{0{,}75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866

v = \beta c \approx 0{,}866 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} \approx 2{,}60 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}

La lunghezza propria è $L_0 = 1{,}00\,\mathrm{m}$ , misurata dove l’asta è ferma, e la lunghezza misurata nel laboratorio è $L = 0{,}50\,\mathrm{m}$ . Dalla formula della contrazione delle lunghezze il rapporto $\dfrac{L}{L_0}$ è uguale a $\sqrt{1 - \beta^2}$ , cioè all’inverso del fattore di Lorentz; quindi l’asta dimezzata corrisponde a $\gamma = 2$ .

Elevando al quadrato si ottiene $1 - \beta^2 = 0{,}25$ , quindi $\beta^2 = 0{,}75$ e, poiché $\beta$ è positivo, $\beta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . L’asta si muove perciò con velocità di circa $2{,}60 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ , l’ $87\%$ della velocità della luce.

Esercizio 3

Una stella dista $4{,}2$ anni luce dalla Terra, misurati nel sistema della Terra, e si considera ferma rispetto alla Terra. Un’astronave parte dalla Terra e raggiunge la stella con velocità costante $v = 0{,}90\,c$ . Si trascurino le fasi di accelerazione e frenata.

Calcola la durata del viaggio per gli osservatori terrestri.
Calcola la distanza tra la Terra e la stella misurata dall’equipaggio.
Calcola la durata del viaggio per l’equipaggio, prima con la contrazione delle lunghezze e poi con la dilatazione dei tempi.

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}90^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}19}} \approx 2{,}294

\Delta t = \frac{L_0}{v} = \frac{4{,}2\ \text{anni luce}}{0{,}90\,c} \approx 4{,}67\ \text{anni}

L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{4{,}2}{2{,}294}\ \text{anni luce} \approx 1{,}83\ \text{anni luce}

\Delta t_0 = \frac{L}{v} = \frac{1{,}83\ \text{anni luce}}{0{,}90\,c} \approx 2{,}0\ \text{anni} , \qquad \Delta t_0 = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{4{,}67}{2{,}294}\ \text{anni} \approx 2{,}0\ \text{anni}

Un anno luce è la distanza che la luce percorre in un anno, quindi una distanza di $4{,}2$ anni luce, percorsa con velocità $0{,}90\,c$ , richiede $\dfrac{4{,}2}{0{,}90}$ anni. Per gli osservatori terrestri il viaggio dura perciò circa 4,7 anni. Con queste unità non serve convertire in metri e secondi.

La distanza $L_0 = 4{,}2$ anni luce è misurata nel sistema della Terra, in cui la Terra e la stella sono ferme, quindi è una lunghezza propria. Nel sistema dell’astronave la Terra e la stella si muovono con velocità $v$ lungo la loro congiungente, perciò per la contrazione delle lunghezze l’equipaggio misura una distanza più corta, $\dfrac{L_0}{\gamma} \approx 1{,}8$ anni luce.

Per l’equipaggio la stella si avvicina con velocità $v$ e deve percorrere $1{,}83$ anni luce, quindi il viaggio dura circa $2{,}0$ anni. Lo stesso risultato si ottiene nel sistema della Terra. La partenza e l’arrivo avvengono entrambi nel punto in cui si trova l’astronave, quindi l’intervallo misurato dall’orologio di bordo è un tempo proprio; per la dilatazione dei tempi esso vale $\dfrac{\Delta t}{\gamma}$ , cioè di nuovo circa 2,0 anni. I due metodi danno lo stesso risultato perché descrivono lo stesso viaggio da due sistemi diversi.