F.e.m. media indotta da un flusso variabile

Theory used: Flusso concatenato con una spira e con una bobina angolo normale Modi di far variare il flusso Legge di Faraday-Neumann Corrente indotta e f.e.m. indotta

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Esercizio 1

Una spira quadrata di lato $12\,\mathrm{cm}$ e resistenza $0{,}20\,\mathrm{\Omega}$ è perpendicolare a un campo magnetico uniforme. Il modulo del campo cresce in modo uniforme da $0{,}15\,\mathrm{T}$ a $0{,}45\,\mathrm{T}$ in $50\,\mathrm{ms}$ . Calcola il flusso concatenato iniziale e finale, la f.e.m. indotta e la corrente indotta.

\Phi_B = B S , \qquad |\mathcal{E}_m| = \frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} , \qquad i = \frac{|\mathcal{E}_m|}{R}

|\mathcal{E}_m| = \frac{(B_2 - B_1)\,S}{\Delta t} , \qquad i = \frac{(B_2 - B_1)\,S}{R\,\Delta t}

\begin{aligned} S &= 0{,}12^2\,\mathrm{m^2} = 1{,}44 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m^2} \\[6pt] \Phi_1 &= 0{,}15 \cdot 1{,}44 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb} \approx 2{,}2 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] \Phi_2 &= 0{,}45 \cdot 1{,}44 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb} \approx 6{,}5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] |\mathcal{E}_m| &= \frac{0{,}30 \cdot 1{,}44 \cdot 10^{-2}}{0{,}050}\,\mathrm{V} \approx 8{,}6 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{V} \\[6pt] i &= \frac{8{,}64 \cdot 10^{-2}}{0{,}20}\,\mathrm{A} \approx 0{,}43\,\mathrm{A} \end{aligned}

Il campo è uniforme e perpendicolare alla spira, quindi l’angolo tra il campo e la normale è $0^\circ$ e il flusso concatenato è il prodotto $B S$ . L’area della spira è il quadrato del lato espresso in metri, $0{,}12^2\,\mathrm{m^2}$ .

Il flusso varia perché varia il modulo del campo, mentre l’area resta la stessa. La variazione del flusso è perciò $(B_2 - B_1)\,S$ . Per la legge di Faraday-Neumann il modulo della f.e.m. media è questa variazione divisa per l’intervallo di tempo, che va scritto in secondi, $50\,\mathrm{ms} = 0{,}050\,\mathrm{s}$ . Il campo cresce in modo uniforme, quindi la f.e.m. è costante durante tutto l’intervallo e coincide con la f.e.m. media.

La spira è chiusa e ha resistenza $0{,}20\,\mathrm{\Omega}$ , quindi per la prima legge di Ohm la corrente indotta è la f.e.m. divisa per la resistenza, cioè circa $0{,}43\,\mathrm{A}$ . La corrente circola solo per i $50\,\mathrm{ms}$ in cui il campo cambia.

Esercizio 2

Una bobina di $150$ spire circolari di raggio $3{,}0\,\mathrm{cm}$ si trova in un campo magnetico uniforme di $0{,}25\,\mathrm{T}$ . L’asse della bobina forma un angolo di $30^\circ$ con il campo.

a) Calcola il flusso concatenato con la bobina.

b) Il campo si annulla in modo uniforme in $0{,}12\,\mathrm{s}$ . Calcola il modulo della f.e.m. indotta.

c) Il campo, invece di annullarsi, cambia verso e torna a $0{,}25\,\mathrm{T}$ nello stesso intervallo di $0{,}12\,\mathrm{s}$ . Calcola il modulo della f.e.m. indotta.

\Phi_B = N B\,\pi r^2 \cos\theta , \qquad |\mathcal{E}_m| = \frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t}

\text{b)}\ \ \Delta\Phi_B = 0 - \Phi_B = -\Phi_B , \qquad \text{c)}\ \ \Delta\Phi_B = -\Phi_B - \Phi_B = -2\,\Phi_B

\begin{aligned} \Phi_B &= 150 \cdot 0{,}25 \cdot \pi \cdot 0{,}030^2 \cdot \cos 30^\circ\,\mathrm{Wb} \approx 9{,}2 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] |\mathcal{E}_b| &= \frac{9{,}18 \cdot 10^{-2}}{0{,}12}\,\mathrm{V} \approx 0{,}77\,\mathrm{V} \\[6pt] |\mathcal{E}_c| &= \frac{2 \cdot 9{,}18 \cdot 10^{-2}}{0{,}12}\,\mathrm{V} \approx 1{,}5\,\mathrm{V} \end{aligned}

L’asse della bobina è perpendicolare al piano delle spire, quindi coincide con la direzione della normale. L’angolo tra il campo e la normale è perciò $\theta = 30^\circ$ . Il flusso concatenato con una bobina di $N$ spire è $N$ volte il flusso attraverso una spira, e ogni spira ha area $\pi r^2$ .

Nel caso b) il flusso finale è zero, quindi la variazione del flusso ha modulo uguale al flusso iniziale. Per la legge di Faraday-Neumann il modulo della f.e.m. è $\dfrac{9{,}18 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb}}{0{,}12\,\mathrm{s}} \approx 0{,}77\,\mathrm{V}$ .

Nel caso c) il campo cambia verso. L’angolo tra il nuovo campo e la normale è $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ , e $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ$ , quindi il flusso finale è $-\Phi_B$ . La variazione del flusso è allora $-2\,\Phi_B$ , doppia rispetto al caso b), e anche la f.e.m. è doppia, circa $1{,}5\,\mathrm{V}$ . Invertire il campo produce una f.e.m. maggiore che annullarlo nello stesso tempo.

Esercizio 3

Un anello conduttore elastico di resistenza $0{,}40\,\mathrm{\Omega}$ è perpendicolare a un campo magnetico uniforme e costante di $0{,}80\,\mathrm{T}$ . L’anello viene tirato verso il centro in modo che il suo raggio passi da $10\,\mathrm{cm}$ a $6{,}0\,\mathrm{cm}$ in $0{,}25\,\mathrm{s}$ , restando circolare. Calcola la f.e.m. media indotta e la corrente media indotta, e stabilisci se il campo prodotto dalla corrente indotta all’interno dell’anello è concorde o opposto al campo esterno.

\Phi_B = B\,\pi r^2 , \qquad \Delta\Phi_B = B\,\pi \left( r_2^2 - r_1^2 \right) , \qquad |\mathcal{E}_m| = \frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t} , \qquad i_m = \frac{|\mathcal{E}_m|}{R}

\begin{aligned} \pi \left( r_1^2 - r_2^2 \right) &= \pi \left( 0{,}10^2 - 0{,}060^2 \right)\,\mathrm{m^2} \approx 2{,}01 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{m^2} \\[6pt] |\Delta\Phi_B| &= 0{,}80 \cdot 2{,}01 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb} \approx 1{,}61 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{Wb} \\[6pt] |\mathcal{E}_m| &= \frac{1{,}61 \cdot 10^{-2}}{0{,}25}\,\mathrm{V} \approx 6{,}4 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{V} \\[6pt] i_m &= \frac{6{,}43 \cdot 10^{-2}}{0{,}40}\,\mathrm{A} \approx 0{,}16\,\mathrm{A} \end{aligned}

In questo esercizio il campo è costante e il flusso varia perché varia l’area dell’anello. Il campo è perpendicolare all’anello, quindi il flusso è $B\,\pi r^2$ , e la sua variazione è il prodotto del campo per la variazione dell’area. L’area finale è minore di quella iniziale, quindi il flusso diminuisce.

Per la legge di Faraday-Neumann il modulo della f.e.m. media è il modulo della variazione del flusso diviso per $0{,}25\,\mathrm{s}$ , cioè circa $64\,\mathrm{mV}$ . Si parla di f.e.m. media perché il testo non dice come varia il raggio istante per istante. Dividendo per la resistenza si ottiene la corrente media, circa $0{,}16\,\mathrm{A}$ .

Il flusso diminuisce, quindi per la legge di Lenz la corrente indotta produce all’interno dell’anello un campo che si oppone alla diminuzione. Il campo indotto è perciò concorde con il campo esterno.