Righe spettrali dell'idrogeno con la formula di Rydberg

Theory used: Formula di Rydberg Serie spettrali dell'idrogeno Spettri di emissione e di assorbimento

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Esercizio 1

Calcola la lunghezza d’onda e la frequenza della riga della serie di Balmer dell’idrogeno che corrisponde a $n_i = 5$ , e indica in quale zona dello spettro si trova. Usa $R_H = 1{,}097 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) , \qquad n_f = 2 , \qquad n_i = 5

\frac{1}{4} - \frac{1}{25} = \frac{25 - 4}{100} = \frac{21}{100}

\lambda = \frac{100}{21\, R_H} = \frac{100}{21 \cdot 1{,}097 \cdot 10^{7}}\,\mathrm{m} \approx 4{,}341 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m} = 434{,}1\,\mathrm{nm}

f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}}{4{,}341 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{Hz} \approx 6{,}91 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}

Le righe della serie di Balmer sono quelle con $n_f = 2$ , quindi nella formula di Rydberg si pone $n_f = 2$ e $n_i = 5$ . La differenza $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{25}$ si calcola con il denominatore comune $100$ e vale $\dfrac{21}{100}$ . La formula dà il reciproco della lunghezza d’onda, perciò $\lambda$ si ottiene invertendo il prodotto $R_H \cdot \dfrac{21}{100}$ .

La lunghezza d’onda è $434{,}1\,\mathrm{nm}$ , compresa tra $380\,\mathrm{nm}$ e $750\,\mathrm{nm}$ , quindi la riga è visibile, di colore violetto. La frequenza si ricava da $c = \lambda f$ e vale circa $6{,}91 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

Esercizio 2

Nello spettro di emissione di un gas di idrogeno si misura una riga della serie di Balmer con lunghezza d’onda $\lambda = 486\,\mathrm{nm}$ . Determina il numero $n_i$ che corrisponde alla riga. Usa $R_H = 1{,}097 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}$ .

\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} \right) \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{1}{n_i^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{\lambda R_H}

\lambda R_H = 4{,}86 \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}097 \cdot 10^{7} \approx 5{,}331 , \qquad \frac{1}{\lambda R_H} \approx 0{,}1876

\frac{1}{n_i^2} \approx 0{,}2500 - 0{,}1876 = 0{,}0624 \qquad \Longrightarrow \qquad n_i^2 \approx 16{,}0 \qquad \Longrightarrow \qquad n_i = 4

La riga appartiene alla serie di Balmer, quindi nella formula di Rydberg si pone $n_f = 2$ , e l’incognita è $n_i$ . Si divide la formula per $R_H$ e si isola il termine $\dfrac{1}{n_i^2}$ , portando $\dfrac{1}{\lambda R_H}$ al secondo membro.

Il prodotto $\lambda R_H$ è un numero puro, perché $\lambda$ si misura in metri e $R_H$ in $\mathrm{m^{-1}}$ . Sottraendo il suo reciproco da $0{,}25$ si ottiene $\dfrac{1}{n_i^2} \approx 0{,}0624$ , e quindi $n_i^2 \approx 16{,}0$ . Il numero $n_i$ è un numero naturale, perciò la piccola differenza da $16$ dipende dall’arrotondamento della misura, e la riga corrisponde a $n_i = 4$ . È la riga azzurra $\mathrm{H}_\beta$ .

Esercizio 3

Calcola la lunghezza d’onda della prima riga e la lunghezza d’onda limite della serie di Lyman ( $n_f = 1$ ), della serie di Balmer ( $n_f = 2$ ) e della serie di Paschen ( $n_f = 3$ ). Spiega perché le righe di una serie non si sovrappongono a quelle delle altre due. Usa $R_H = 1{,}097 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}$ .

\text{prima riga: } n_i = n_f + 1 , \qquad \text{limite: } n_i \to +\infty , \quad \lambda_\infty = \frac{n_f^2}{R_H}

\begin{aligned} \text{Lyman:} \quad & \frac{1}{\lambda} = R_H \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R_H , && \lambda = \frac{4}{3 R_H} \approx 121{,}5\,\mathrm{nm} , && \lambda_\infty = \frac{1}{R_H} \approx 91{,}2\,\mathrm{nm} \\[8pt] \text{Balmer:} \quad & \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5}{36} R_H , && \lambda = \frac{36}{5 R_H} \approx 656{,}3\,\mathrm{nm} , && \lambda_\infty = \frac{4}{R_H} \approx 364{,}6\,\mathrm{nm} \\[8pt] \text{Paschen:} \quad & \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = \frac{7}{144} R_H , && \lambda = \frac{144}{7 R_H} \approx 1875\,\mathrm{nm} , && \lambda_\infty = \frac{9}{R_H} \approx 820{,}4\,\mathrm{nm} \end{aligned}

In ogni serie la riga con la lunghezza d’onda più grande è quella con la differenza $\dfrac{1}{n_f^2} - \dfrac{1}{n_i^2}$ più piccola, cioè quella con $n_i = n_f + 1$ . Quando $n_i$ cresce, il termine $\dfrac{1}{n_i^2}$ tende a $0$ , quindi $\dfrac{1}{\lambda}$ tende a $\dfrac{R_H}{n_f^2}$ e la lunghezza d’onda tende al limite $\lambda_\infty = \dfrac{n_f^2}{R_H}$ , che è la più piccola della serie.

Le righe della serie di Lyman sono comprese tra $91{,}2\,\mathrm{nm}$ e $121{,}5\,\mathrm{nm}$ , nell’ultravioletto. Le righe della serie di Balmer sono comprese tra $364{,}6\,\mathrm{nm}$ e $656{,}3\,\mathrm{nm}$ , quelle della serie di Paschen tra $820{,}4\,\mathrm{nm}$ e $1875\,\mathrm{nm}$ , nell’infrarosso. I tre intervalli sono separati, perché ogni limite è maggiore della prima riga della serie precedente; per esempio il limite di Balmer, $364{,}6\,\mathrm{nm}$ , è maggiore di $121{,}5\,\mathrm{nm}$ . Perciò le tre serie non si sovrappongono. Per le serie con $n_f$ più grande questa proprietà non vale più; per esempio la prima riga della serie di Paschen, a $1875\,\mathrm{nm}$ , è oltre il limite della serie con $n_f = 4$ , che è $1459\,\mathrm{nm}$ .