Esercizi svolti · Scheda 2

Campi di spire e di archi di circonferenza

Teoria usata: Campo di una spira circolare sul suo asse Campo al centro di un arco di circonferenza Campo di un filo rettilineo infinito Campo di un tratto rettilineo Direzione e verso del campo

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Esercizio 1

Una spira circolare di raggio $R = 5, 0 cm$ è percorsa dalla corrente $I = 4, 0 A$ . Calcolare il modulo del campo magnetico nel centro della spira e nel punto del suo asse a distanza $z = 12 cm$ dal centro.

B_{0} = \frac{μ _{0} I}{2 R}, B (z) = \frac{μ _{0} I R ^{2}}{2 ( R ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = B_{0} \frac{R ^{3}}{( R ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

B_{0} R^{2} + z^{2} B (z) = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 4 , 0}{2 \cdot 0 , 050} T \approx 5, 03 \cdot 1 0^{- 5} T = 5, 0^{2} + 1 2^{2} cm = 13 cm = 5, 03 \cdot 1 0^{- 5} \cdot \frac{5 ^{3}}{1 3 ^{3}} T = 5, 03 \cdot 1 0^{- 5} \cdot \frac{125}{2197} T \approx 2, 9 \cdot 1 0^{- 6} T

Si applica il teorema sul campo di una spira circolare sul suo asse. Al centro la formula si riduce a $\frac{μ _{0} I}{2 R}$ , e il campo vale circa $5, 0 \cdot 1 0^{- 5} T$ . Scrivendo il campo sull’asse come $B_{0}$ per un fattore adimensionale, il calcolo si semplifica: con $R = 5 cm$ e $z = 12 cm$ la distanza del punto dalla spira è $13 cm$ , perché $5$ , $12$ , $13$ formano una terna pitagorica. Il fattore vale $\frac{125}{2197} \approx 0, 057$ , quindi a $12 cm$ dal centro il campo è circa il $6 %$ di quello al centro.

Come controllo, per $z ≫ R$ il campo dovrebbe avvicinarsi a $\frac{μ _{0} I R ^{2}}{2 z ^{3}} \approx 3, 6 \cdot 1 0^{- 6} T$ ; qui $z$ è solo $2, 4$ volte $R$ , e il valore esatto è ancora sensibilmente più piccolo.

Esercizio 2

Un circuito piano è formato da due semicirconferenze concentriche, di raggi $a = 4, 0 cm$ e $b = 8, 0 cm$ , collegate da due tratti rettilinei lungo il diametro, ed è percorso dalla corrente $I = 6, 0 A$ , che scorre in verso antiorario sulla semicirconferenza esterna. Calcolare il campo magnetico nel centro comune $C$ .

Circuito formato da due semicirconferenze e due tratti radiali: la corrente percorre l'arco esterno in verso antiorario e l'arco interno in verso orario

B_{est} = \frac{μ _{0} I π}{4 π b} = \frac{μ _{0} I}{4 b} (⊙), B_{int} = \frac{μ _{0} I}{4 a} (\otimes), B_{rad} = 0

B = B_{int} - B_{est} = \frac{μ _{0} I}{4} (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})

B = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 6 , 0}{4} \cdot (\frac{1}{0 , 040} - \frac{1}{0 , 080}) T = 1, 885 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 12, 5 T \approx 2, 4 \cdot 1 0^{- 5} T

Il circuito è formato da archi centrati in $C$ e da tratti radiali, quindi si applica il teorema sul campo al centro di un arco di circonferenza a ciascuna semicirconferenza, con $φ = π$ . I tratti rettilinei giacciono sul diametro, cioè sono allineati con $C$ ; per essi $d l$ è parallelo a $r$ , e il loro contributo è nullo.

La corrente percorre il circuito chiuso in un solo verso: se sull’arco esterno scorre in verso antiorario, sul tratto radiale di sinistra va verso il centro e sull’arco interno scorre in verso orario. Per la regola della mano destra l’arco esterno produce in $C$ un campo uscente dal foglio e l’arco interno un campo entrante, e i due contributi si sottraggono. L’arco interno è più vicino al centro, perciò il suo contributo prevale: il campo in $C$ vale circa $2, 4 \cdot 1 0^{- 5} T$ ed entra nel foglio.

Esercizio 3

Un filo molto lungo è piegato a forcina: due tratti rettilinei paralleli, semi-infiniti, sono collegati da una semicirconferenza di raggio $R = 2, 0 cm$ , e i tratti rettilinei sono tangenti alla semicirconferenza negli estremi del suo diametro. Il filo è percorso dalla corrente $I = 5, 0 A$ . Calcolare il campo magnetico nel centro $C$ della semicirconferenza.

Filo a forcina: i due tratti semi-infiniti e la semicirconferenza producono in

C

campi uscenti dal foglio

B_{arco} = \frac{μ _{0} I π}{4 π R} = \frac{μ _{0} I}{4 R}, B_{sup} = B_{inf} = \frac{μ _{0} I}{4 π R}

B = \frac{μ _{0} I}{4 R} + 2 \frac{μ _{0} I}{4 π R} = \frac{μ _{0} I}{4 R} (1 + \frac{2}{π})

B = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 5 , 0}{4 \cdot 0 , 020} \cdot (1 + 0, 637) T = 7, 85 \cdot 1 0^{- 5} \cdot 1, 637 T \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 4} T

Il filo si divide in tre parti, e per il principio di sovrapposizione il campo in $C$ è la somma dei loro contributi. La semicirconferenza ha centro $C$ e ampiezza $π$ , quindi per il teorema sul campo al centro di un arco dà $\frac{μ _{0} I}{4 R}$ . Ciascun tratto rettilineo è un filo semi-infinito che termina nel piede della perpendicolare condotta da $C$ , perché è tangente alla semicirconferenza in un estremo del diametro; per il teorema sul campo di un filo rettilineo il suo contributo è $\frac{μ _{0} I}{4 π R}$ , metà di quello di un filo infinito.

Restano da confrontare i versi. Sul tratto superiore la corrente va verso sinistra e $C$ si trova sotto il filo; sul tratto inferiore la corrente va verso destra e $C$ si trova sopra; sulla semicirconferenza la corrente gira in verso antiorario. Per la regola della mano destra tutti e tre i contributi escono dal foglio, quindi i moduli si sommano e il campo vale circa $1, 3 \cdot 1 0^{- 4} T$ . Senza i tratti rettilinei il campo sarebbe il $61 %$ di questo valore.

Esercizio 4

Due bobine circolari coassiali, ciascuna di $N = 50$ spire di raggio $R = 10 cm$ , sono poste a distanza $R$ l’una dall’altra e sono percorse nello stesso verso dalla corrente $I = 2, 0 A$ (bobine di Helmholtz). Calcolare il campo magnetico nel punto dell’asse equidistante dalle due bobine e confrontarlo con il campo al centro di una sola bobina.

B = 2 \cdot \frac{N μ _{0} I R ^{2}}{2 ( R ^{2} + \frac{R ^{2}}{4} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{N μ _{0} I}{R} (\frac{4}{5})^{\frac{3}{2}}, B_{1} = \frac{N μ _{0} I}{2 R}

\frac{N μ _{0} I}{R} B B_{1} = \frac{50 \cdot 4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2 , 0}{0 , 10} T \approx 1, 257 \cdot 1 0^{- 3} T = 1, 257 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 0, 7155 T \approx 9, 0 \cdot 1 0^{- 4} T = \frac{1 , 257 \cdot 1 0 ^{- 3}}{2} T \approx 6, 3 \cdot 1 0^{- 4} T

Il punto equidistante si trova sull’asse a distanza $z = \frac{R}{2}$ da ciascuna bobina. Per il teorema sul campo di una spira circolare sul suo asse, moltiplicato per il numero di spire, ogni bobina produce lì un campo diretto lungo l’asse; le correnti hanno lo stesso verso, quindi i due campi sono concordi e si sommano. Il denominatore contiene $R^{2} + \frac{R ^{2}}{4} = \frac{5}{4} R^{2}$ , e semplificando si ottiene il fattore $(\frac{4}{5})^{\frac{3}{2}} \approx 0, 716$ .

Il campo nel punto medio vale circa $9, 0 \cdot 1 0^{- 4} T$ , cioè $1, 43$ volte il campo al centro di una sola bobina. La distanza $R$ tra le bobine è scelta in modo che il campo vicino al punto medio sia quasi uniforme, e per questo le bobine di Helmholtz si usano per produrre campi uniformi in laboratorio.