Esercizi svolti · Scheda 1

Campi di fili rettilinei infiniti

Teoria usata: Campo di un filo rettilineo infinito Direzione e verso del campo Legge di Biot-Savart

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Esercizio 1

Un filo rettilineo molto lungo è percorso dalla corrente $I = 15 A$ . Calcolare il modulo del campo magnetico a distanza $d = 3, 0 cm$ dal filo e la distanza $d^{'}$ alla quale il campo del filo ha modulo $B_{T} = 5, 0 \cdot 1 0^{- 5} T$ , valore tipico del campo magnetico terrestre.

B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}, d^{'} = \frac{μ _{0} I}{2 π B _{T}}

B d^{'} = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 15}{2 π \cdot 0 , 030} T = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 15}{0 , 030} T = 1, 0 \cdot 1 0^{- 4} T = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 15}{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 5}} m = 0, 060 m = 6, 0 cm

Il filo è molto lungo rispetto alle distanze considerate, quindi si applica il teorema sul campo di un filo rettilineo infinito. Il fattore $\frac{μ _{0}}{2 π}$ vale $2 \cdot 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ , e conviene usarlo direttamente nei calcoli. Il campo è inversamente proporzionale alla distanza, perciò il valore $B_{T}$ , metà di quello trovato a $3, 0 cm$ , si raggiunge alla distanza doppia, $d^{'} = 6, 0 cm$ . Oltre qualche decina di centimetri il campo del filo è quindi molto minore del campo terrestre.

Esercizio 2

Due fili rettilinei infiniti e paralleli, perpendicolari al foglio, distano $D = 10 cm$ e sono percorsi dalle correnti $I_{1} = 20 A$ e $I_{2} = 10 A$ , entrambe uscenti dal foglio. Calcolare il campo magnetico nel punto medio $M$ del segmento che congiunge i fili e trovare il punto del piano del foglio in cui il campo è nullo.

B_{y} (x) = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π x} - \frac{μ _{0} I _{2}}{2 π ( D - x )}, 0 < x < D

B_{y} (\frac{D}{2}) = \frac{μ _{0}}{2 π} \frac{2 ( I _{1} - I _{2} )}{D} = 2 \cdot 1 0^{- 7} \cdot \frac{2 \cdot ( 20 - 10 )}{0 , 10} T = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} T

\frac{I _{1}}{x} = \frac{I _{2}}{D - x} ⟹ x = \frac{I _{1} D}{I _{1} + I _{2}} = \frac{20 \cdot 0 , 10}{30} m \approx 0, 067 m = 6, 7 cm

Si mette il filo $1$ nell’origine e il filo $2$ nel punto $x = D$ dell’asse $x$ , con l’asse $y$ nel piano del foglio. Le correnti escono dal foglio, quindi per la regola della mano destra le linee di campo di ciascun filo girano in verso antiorario. In un punto tra i due fili il campo del filo $1$ , che si trova a sinistra, è rivolto verso $+ y$ , mentre il campo del filo $2$ , che si trova a destra, è rivolto verso $- y$ ; per il principio di sovrapposizione la componente $B_{y}$ è la differenza dei due moduli.

Nel punto medio le distanze sono uguali, perciò prevale il campo della corrente maggiore e il campo totale vale $4, 0 \cdot 1 0^{- 5} T$ , diretto verso $+ y$ . Il campo si annulla dove i due moduli sono uguali, cioè a $6, 7 cm$ dal filo $1$ e a $3, 3 cm$ dal filo $2$ : il punto è più vicino al filo con la corrente minore. Fuori dal segmento i due campi hanno lo stesso verso, perché il punto si trova dalla stessa parte di entrambi i fili, e in nessun punto fuori dalla retta dei fili i due campi sono paralleli; quindi il punto trovato è l’unico punto di campo nullo.

Esercizio 3

Due fili rettilinei infiniti, perpendicolari al foglio, passano per i punti $A = (- 4, 0; 0) cm$ e $C = (4, 0; 0) cm$ e sono percorsi dalla stessa corrente $I = 10 A$ , uscente dal foglio nel filo $1$ , che passa per $A$ , ed entrante nel filo $2$ , che passa per $C$ . Calcolare il vettore campo magnetico nel punto $P = (0; 3, 0) cm$ .

Campi dei due fili in

P

: ciascuno è perpendicolare alla congiungente con il proprio filo, e le componenti orizzontali si annullano

r_{1} = r_{2} = 4, 0^{2} + 3, 0^{2} cm = 5, 0 cm, B_{1} = B_{2} = \frac{μ _{0} I}{2 π r _{1}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{0 , 050} T = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} T

B_{1} = B_{1} \frac{k ^ \times r _{1}}{r _{1}} = B_{1} \frac{- 3  ^ + 4  ^}{5}, B_{2} = B_{2} \frac{- k ^ \times r _{2}}{r _{2}} = B_{2} \frac{3  ^ + 4  ^}{5}

B = B_{1} + B_{2} = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} \cdot \frac{8}{5} \overset{}{^} T = 6, 4 \cdot 1 0^{- 5} \overset{}{^} T

Il punto $P$ dista $5, 0 cm$ da entrambi i fili, e le correnti sono uguali, quindi i due campi hanno lo stesso modulo $4, 0 \cdot 1 0^{- 5} T$ . Le direzioni si ricavano dalla regola della mano destra: per un filo con la corrente uscente il campo è $\hat{k} \times r$ normalizzato, dove $r$ è il vettore che va dal filo al punto, nel piano del foglio; per la corrente entrante il verso si inverte. Con $r_{1} = (4 \overset{}{^} + 3 \overset{}{^}) cm$ e $r_{2} = (- 4 \overset{}{^} + 3 \overset{}{^}) cm$ , e con $\hat{k} \times \overset{}{^} = \overset{}{^}$ , $\hat{k} \times \overset{}{^} = - \overset{}{^}$ , si ottengono i versori scritti sopra.

Le componenti lungo $x$ sono opposte e si annullano, mentre quelle lungo $y$ si sommano. Il campo in $P$ è quindi verticale, rivolto verso $+ y$ , e vale $6, 4 \cdot 1 0^{- 5} T$ . Il risultato è coerente con la simmetria: nel punto medio $O$ di $A C$ i due campi sono entrambi rivolti verso $+ y$ , e lungo l’asse del segmento il campo resta parallelo a quella direzione.