Esercizi svolti · Scheda 3

Forze tra fili paralleli

Teoria usata: Forza tra due fili paralleli Campo di un filo rettilineo infinito

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Esercizio 1

I due conduttori di un cavo di alimentazione sono rettilinei e paralleli, a distanza $d = 5, 0 mm$ , e sono percorsi in versi opposti dalla corrente $I = 25 A$ . Calcolare la forza per unità di lunghezza tra i conduttori e la forza su un tratto lungo $ℓ = 1, 5 m$ , dicendo se è attrattiva o repulsiva.

\frac{F}{ℓ} = \frac{μ _{0} I ^{2}}{2 π d}, F = \frac{μ _{0} I ^{2}}{2 π d} ℓ

\frac{F}{ℓ} F = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2 5 ^{2}}{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} N/m = \frac{1 , 25 \cdot 1 0 ^{- 4}}{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} N/m = 2, 5 \cdot 1 0^{- 2} N/m = 2, 5 \cdot 1 0^{- 2} \cdot 1, 5 N \approx 3, 8 \cdot 1 0^{- 2} N

La distanza tra i conduttori è molto minore della loro lunghezza, quindi i conduttori si possono trattare come fili infiniti e si applica il teorema sulla forza tra due fili paralleli, con $I_{1} = I_{2} = I$ . Le correnti sono discordi, perciò la forza è repulsiva: i due conduttori tendono ad allontanarsi. La forza su un tratto di $1, 5 m$ è di circa $4 \cdot 1 0^{- 2} N$ , piccola in condizioni normali; poiché dipende dal quadrato della corrente, diventa rilevante nei cortocircuiti, quando la corrente aumenta di molte volte.

Esercizio 2

Tre fili rettilinei infiniti, paralleli e complanari, sono equidistanti, con distanza $d = 4, 0 cm$ tra fili adiacenti. Sono percorsi nello stesso verso dalle correnti $I_{1} = 10 A$ , $I_{2} = 15 A$ e $I_{3} = 30 A$ , con il filo $2$ in mezzo. Calcolare la forza per unità di lunghezza su ciascun filo.

Tre fili con correnti concordi: ogni filo è attratto dagli altri due, e la forza risultante su ciascuno è rivolta verso il lato in cui le attrazioni sono maggiori

f_{ij} = \frac{μ _{0} I _{i} I _{j}}{2 π d _{ij}}

f_{12} f_{23} f_{13} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10 \cdot 15}{0 , 040} N/m = 7, 5 \cdot 1 0^{- 4} N/m = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 15 \cdot 30}{0 , 040} N/m = 2, 25 \cdot 1 0^{- 3} N/m = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10 \cdot 30}{0 , 080} N/m = 7, 5 \cdot 1 0^{- 4} N/m

\frac{F _{1}}{ℓ} \frac{F _{2}}{ℓ} \frac{F _{3}}{ℓ} = f_{12} + f_{13} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} N/m verso il filo 2 = f_{23} - f_{12} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} N/m verso il filo 3 = f_{23} + f_{13} = 3, 0 \cdot 1 0^{- 3} N/m verso il filo 2

Per il principio di sovrapposizione la forza su ciascun filo è la somma delle forze dovute agli altri due, e ogni coppia di fili interagisce secondo il teorema sulla forza tra due fili paralleli; $f_{ij}$ indica il modulo della forza per unità di lunghezza tra i fili $i$ e $j$ , che per i fili $1$ e $3$ si trovano a distanza $2 d$ . Le correnti sono tutte concordi, quindi ogni forza è attrattiva.

Il filo $1$ è attratto verso destra da entrambi gli altri, e le due forze si sommano. Il filo $2$ è attratto verso sinistra dal filo $1$ e verso destra dal filo $3$ ; l’attrazione del filo $3$ è maggiore, perciò la risultante è rivolta verso il filo $3$ . Il filo $3$ è attratto verso sinistra da entrambi. Come controllo, le forze interne a un sistema hanno risultante nulla per il terzo principio della dinamica: contando positive le forze verso destra si ha $1, 5 \cdot 1 0^{- 3} + 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} - 3, 0 \cdot 1 0^{- 3} = 0$ .

Esercizio 3

Un filo rettilineo lungo, appoggiato su un tavolo orizzontale, è percorso dalla corrente $I_{1} = 80 A$ . Sopra di esso, parallelo, si trova un secondo filo, libero di muoversi in verticale lungo guide lisce, con massa per unità di lunghezza $\frac{m}{ℓ} = 6, 0 \cdot 1 0^{- 3} kg/m$ , percorso dalla corrente $I_{2} = 40 A$ in verso opposto a $I_{1}$ . Calcolare l’altezza $h$ alla quale il secondo filo resta in equilibrio e stabilire se l’equilibrio è stabile per spostamenti verticali.

\frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π h} ℓ = m g ⟹ h = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π \frac{m}{ℓ} g}

h = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 80 \cdot 40}{6 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 9 , 81} m = \frac{6 , 4 \cdot 1 0 ^{- 4}}{5 , 886 \cdot 1 0 ^{- 2}} m \approx 1, 1 \cdot 1 0^{- 2} m

Sul filo superiore agiscono il peso, rivolto verso il basso, e la forza magnetica dovuta al filo inferiore. Le correnti sono discordi, quindi per il teorema sulla forza tra due fili paralleli la forza magnetica è repulsiva, cioè rivolta verso l’alto. Le guide lisce esercitano solo forze orizzontali, perciò all’equilibrio la forza magnetica su un tratto di lunghezza $ℓ$ uguaglia il peso di quel tratto; la lunghezza si semplifica e resta la massa per unità di lunghezza. Il filo galleggia a circa $1, 1 cm$ dal filo inferiore.

Se il filo scende di poco, la distanza $h$ diminuisce e la forza repulsiva, inversamente proporzionale a $h$ , supera il peso; la risultante è allora rivolta verso l’alto e riporta il filo verso la posizione di equilibrio. Se il filo sale, la forza magnetica diventa minore del peso e il filo ridiscende. L’equilibrio è quindi stabile per spostamenti verticali.

Esercizio 4

Una spira rettangolare rigida giace nello stesso piano di un filo rettilineo infinito percorso dalla corrente $I_{1} = 20 A$ . I lati della spira paralleli al filo sono lunghi $a = 10 cm$ ; il lato più vicino dista $c = 2, 0 cm$ dal filo e il più lontano $c + b = 7, 0 cm$ . La spira è percorsa dalla corrente $I_{2} = 5, 0 A$ , che nel lato vicino al filo ha lo stesso verso di $I_{1}$ . Calcolare la forza risultante sulla spira.

Spira rettangolare accanto a un filo: il lato vicino, con corrente concorde, è attratto; il lato lontano, con corrente discorde, è respinto con una forza minore

F_{1} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2} a}{2 π c}, F_{2} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2} a}{2 π ( c + b )}, F = F_{1} - F_{2} = \frac{μ _{0} I _{1} I _{2} a}{2 π} (\frac{1}{c} - \frac{1}{c + b})

F_{1} F_{2} F = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 20 \cdot 5 , 0 \cdot 0 , 10}{0 , 020} N = 1, 0 \cdot 1 0^{- 4} N = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 20 \cdot 5 , 0 \cdot 0 , 10}{0 , 070} N \approx 2, 9 \cdot 1 0^{- 5} N \approx (10, 0 - 2, 9) \cdot 1 0^{- 5} N \approx 7, 1 \cdot 1 0^{- 5} N

La forza sulla spira è la somma delle forze sui quattro lati. I due lati paralleli al filo si trovano ciascuno a distanza costante dal filo, quindi su ciascuno di essi il campo del filo è uniforme e si applica il teorema sulla forza tra due fili paralleli, con la lunghezza $a$ del lato. Nel lato vicino la corrente è concorde con $I_{1}$ e la forza $F_{1}$ è attrattiva; nel lato lontano la corrente, che percorre la spira in un solo verso, è discorde, e la forza $F_{2}$ è repulsiva.

I due lati perpendicolari al filo sono percorsi da correnti opposte e si trovano nello stesso campo, che varia solo con la distanza dal filo; perciò su ogni tratto dell’uno agisce una forza opposta a quella sul tratto corrispondente dell’altro, e i loro contributi si annullano. La forza risultante è quindi $F_{1} - F_{2} \approx 7, 1 \cdot 1 0^{- 5} N$ , rivolta verso il filo, perché il lato attratto è più vicino.