Esercizi svolti · Scheda 2

Lavoro della forza elettrica e differenze di potenziale

Teoria usata: Lavoro della forza elettrica Potenziale elettrico Differenza di potenziale e campo Differenza di potenziale in un campo uniforme Circuitazione del campo elettrostatico Lavoro nel campo di una carica puntiforme Potenziale di una carica puntiforme Elettronvolt

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Esercizio 1

In una regione dello spazio c’è un campo elettrico uniforme $E = E \overset{}{^}$ con $E = 2, 5 \cdot 1 0^{3} V/m$ . Una carica $q = - 4, 0 μ C$ si sposta dal punto $A = (0; 0)$ al punto $B = (0, 40 m; 0, 30 m)$ . Calcolare la differenza di potenziale $V_{B} - V_{A}$ , il lavoro della forza elettrica e il lavoro di un agente esterno che sposta la carica lentamente.

Nel campo uniforme diretto lungo

x

il lavoro da

A

B

è lo stesso lungo il segmento

A B

e lungo la spezzata

A C B

, dove solo il tratto

A C

, parallelo al campo, contribuisce

V_{B} - V_{A} = - E \cdot A B = - E Δ x, W_{A \to B} = - q (V_{B} - V_{A}), W_{est} = - W_{A \to B}

V_{B} - V_{A} W_{A \to B} W_{est} = - 2, 5 \cdot 1 0^{3} \cdot 0, 40 V = - 1, 0 \cdot 1 0^{3} V = - (- 4, 0 \cdot 1 0^{- 6}) \cdot (- 1, 0 \cdot 1 0^{3}) J = - 4, 0 \cdot 1 0^{- 3} J = + 4, 0 \cdot 1 0^{- 3} J

Il campo è uniforme, quindi si applica la differenza di potenziale in un campo uniforme: conta solo la proiezione dello spostamento sulla direzione del campo, che è $Δ x = 0, 40 m$ , mentre lo spostamento $Δ y = 0, 30 m$ è perpendicolare al campo e non cambia il potenziale. Il potenziale diminuisce nel verso del campo, perciò $V_{B} < V_{A}$ . Il lavoro del campo è $- q Δ V$ ; la carica è negativa e si sposta verso potenziali minori, quindi la sua energia potenziale aumenta e il lavoro del campo è negativo. Lo stesso risultato si ottiene lungo la spezzata $A C B$ : sul tratto $A C$ la forza $q E$ è opposta allo spostamento e compie il lavoro $q E \cdot 0, 40 m = - 4, 0 \cdot 1 0^{- 3} J$ , sul tratto $C B$ è perpendicolare e non compie lavoro, come prevede la circuitazione nulla del campo elettrostatico. Se la carica si sposta lentamente, l’energia cinetica non cambia e il lavoro totale è nullo, quindi l’agente esterno compie il lavoro opposto a quello del campo.

Esercizio 2

Una carica puntiforme $Q = 5, 0 nC$ è fissa. Una carica $q = - 2, 0 nC$ viene portata lentamente dal punto $A$ , a distanza $r_{A} = 10 cm$ da $Q$ , al punto $B$ , a distanza $r_{B} = 25 cm$ . Calcolare i potenziali di $A$ e di $B$ , il lavoro della forza elettrica e il lavoro esterno.

V_{A} = \frac{k Q}{r _{A}}, V_{B} = \frac{k Q}{r _{B}}, W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = k Qq (\frac{1}{r _{A}} - \frac{1}{r _{B}}), W_{est} = - W_{A \to B}

V_{A} V_{B} W_{A \to B} W_{est} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 10} V \approx 450 V = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 25} V \approx 180 V = - 2, 0 \cdot 1 0^{- 9} \cdot (449, 5 - 179, 8) J \approx - 5, 4 \cdot 1 0^{- 7} J \approx + 5, 4 \cdot 1 0^{- 7} J

La carica $Q$ è puntiforme, quindi i potenziali si calcolano con il potenziale di una carica puntiforme, con riferimento all’infinito. Il lavoro del campo dipende solo dai potenziali iniziale e finale, come garantisce il lavoro nel campo di una carica puntiforme, e il percorso seguito non serve. Le cariche sono discordi, quindi si attraggono; allontanando $q$ da $Q$ la forza elettrica è opposta allo spostamento radiale e compie lavoro negativo. In modo equivalente, la carica negativa va verso potenziali minori e la sua energia potenziale $q V$ aumenta. Lo spostamento è lento, perciò l’agente esterno fornisce il lavoro positivo $5, 4 \cdot 1 0^{- 7} J$ , che diventa energia potenziale del sistema.

Esercizio 3

In una regione dello spazio il campo elettrico è diretto lungo l’asse $x$ e ha componente $E_{x} (x) = b x^{2}$ , con $b = 6, 0 \cdot 1 0^{3} V/ m^{3}$ . Calcolare la differenza di potenziale $V (2, 0 m) - V (0)$ , il lavoro del campo su un elettrone che va da $x = 0$ a $x = 2, 0 m$ e l’energia cinetica minima, in elettronvolt, che l’elettrone deve avere in $x = 0$ per raggiungere $x = 2, 0 m$ .

V (x_{B}) - V (x_{A}) = - \int_{x_{A}}^{x_{B}} E_{x} (x) d x = - \frac{b}{3} (x_{B}^{3} - x_{A}^{3})

W = - q Δ V = e Δ V, K_{m i n} = - W = - e Δ V

Δ V W K_{m i n} = - \frac{6 , 0 \cdot 1 0 ^{3}}{3} \cdot 2, 0^{3} V = - 1, 6 \cdot 1 0^{4} V = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} \cdot (- 1, 6 \cdot 1 0^{4}) J \approx - 2, 6 \cdot 1 0^{- 15} J = 1, 6 \cdot 1 0^{4} eV = 16 keV

Il campo varia con la posizione, quindi la differenza di potenziale si calcola con l’integrale della differenza di potenziale e campo. Si integra lungo l’asse $x$ , dove $d ℓ = d x \overset{}{^}$ e $E \cdot d ℓ = E_{x} d x$ ; una primitiva di $b x^{2}$ è $\frac{b x ^{3}}{3}$ . Il campo punta verso le $x$ crescenti, perciò il potenziale diminuisce da $x = 0$ a $x = 2, 0 m$ . L’elettrone ha carica $q = - e$ e va verso potenziali minori, quindi la sua energia potenziale cresce e il campo compie lavoro negativo, cioè lo frena. Per il teorema dell’energia cinetica l’elettrone arriva in $x = 2, 0 m$ solo se la sua energia cinetica iniziale è almeno uguale al lavoro resistente, $16 keV$ ; in elettronvolt il risultato si legge direttamente da $Δ V$ , perché la carica è $e$ .