Esercizi svolti · Scheda 3

Particelle cariche accelerate da differenze di potenziale

Teoria usata: Conservazione dell'energia per una carica in un campo elettrostatico Elettronvolt Differenza di potenziale in un campo uniforme Potenziale elettrico Energia potenziale di due cariche puntiformi

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Esercizio 1

Un elettrone parte da fermo e viene accelerato da una differenza di potenziale di $1, 5 kV$ . Calcolare l’energia cinetica finale, in elettronvolt e in joule, e la velocità finale. Trascurare il peso.

\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e ∣Δ V ∣ ⟹ v = \frac{2 e ∣Δ V ∣}{m _{e}}

K v = 1, 5 keV = 1, 5 \cdot 1 0^{3} \cdot 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} J = 2, 4 \cdot 1 0^{- 16} J = \frac{2 \cdot 2 , 4 \cdot 1 0 ^{- 16}}{9 , 11 \cdot 1 0 ^{- 31}} m/s \approx 2, 3 \cdot 1 0^{7} m/s

L’unica forza è quella elettrica, quindi si applica la conservazione dell’energia per una carica in un campo elettrostatico, e perciò l’energia potenziale persa dall’elettrone, $e ∣Δ V ∣$ , diventa energia cinetica. L’elettrone è negativo e si muove da solo verso potenziali maggiori, che è il verso in cui la sua energia potenziale diminuisce. Per la definizione di elettronvolt una carica $e$ che attraversa $1, 5 kV$ acquista $1, 5 keV$ , e la conversione in joule si fa moltiplicando per $1, 60 \cdot 1 0^{- 19}$ . La velocità è circa il $7, 7 %$ della velocità della luce, perciò la formula non relativistica dell’energia cinetica è ancora accettabile.

Esercizio 2

Due armature piane e parallele distano $d = 2, 0 cm$ ; la prima è a potenziale $0$ e ha un piccolo foro, la seconda è a potenziale $+ 800 V$ . Un protone, di massa $m_{p} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} kg$ , entra dal foro con velocità $v_{0} = 3, 0 \cdot 1 0^{5} m/s$ perpendicolare alle armature. Stabilire se il protone raggiunge la seconda armatura; in caso contrario, calcolare a che distanza dalla prima si ferma e con che velocità riesce dal foro. Trascurare gli effetti di bordo e il peso.

Il protone entra dal foro dell'armatura a potenziale

0

e il campo, diretto verso il foro, lo frena; si ferma a

1, 2 cm

dal foro e torna indietro

K_{0} = \frac{1}{2} m_{p} v_{0}^{2}, E = \frac{Δ V}{d}

\frac{1}{2} m_{p} v_{0}^{2} + e \cdot 0 = 0 + e E x ⟹ x = \frac{m _{p} v _{0}^{2}}{2 e E} = \frac{K _{0}}{e Δ V} d

K_{0} E x = \frac{1}{2} \cdot 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} \cdot (3, 0 \cdot 1 0^{5})^{2} J \approx 7, 5 \cdot 1 0^{- 17} J \approx 470 eV = \frac{800}{0 , 020} V/m = 4, 0 \cdot 1 0^{4} V/m = \frac{7 , 5 \cdot 1 0 ^{- 17}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 4 , 0 \cdot 1 0 ^{4}} m \approx 1, 2 \cdot 1 0^{- 2} m

Il campo tra le armature è uniforme, perché gli effetti di bordo sono trascurabili, e va dall’armatura a potenziale maggiore a quella a potenziale minore, cioè verso il foro; sul protone, positivo, agisce quindi una forza opposta alla velocità. Per arrivare alla seconda armatura il protone dovrebbe aumentare la sua energia potenziale di $e \cdot 800 V = 800 eV$ , mentre la sua energia cinetica iniziale è circa $470 eV$ ; perciò il protone non raggiunge la seconda armatura.

Il protone si ferma nel punto in cui tutta l’energia cinetica è diventata energia potenziale. Per la differenza di potenziale in un campo uniforme, a distanza $x$ dal foro il potenziale è $E x$ , e la conservazione dell’energia dà $x \approx 1, 2 cm$ , cioè il $59 %$ della distanza tra le armature, uguale al rapporto $\frac{470}{800}$ . Poi la forza, sempre diretta verso il foro, riporta indietro il protone; al foro il potenziale è di nuovo $0$ , quindi l’energia cinetica torna quella iniziale e il protone esce con la velocità di ingresso, $3, 0 \cdot 1 0^{5} m/s$ , in verso opposto.

Esercizio 3

Due piccole sfere isolanti, di masse $m_{1} = 2, 0 g$ e $m_{2} = 4, 0 g$ , portano entrambe la carica $q = 3, 0 μ C$ e sono tenute ferme a distanza $r_{0} = 10 cm$ su un piano orizzontale liscio. Le sfere vengono lasciate libere. Calcolare le loro velocità quando la distanza è diventata $20 cm$ e quando la distanza è molto grande.

⎩ ⎨ ⎧ m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2} \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{k q ^{2}}{r _{0}} - \frac{k q ^{2}}{r} ⟹ v_{1} = \frac{2 m _{2} Δ U}{m _{1} ( m _{1} + m _{2} )}, v_{2} = \frac{m _{1}}{m _{2}} v_{1}

\frac{k q ^{2}}{r _{0}} r \to + \infty : v_{1} r = 20 cm : Δ U = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot ( 3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} ) ^{2}}{0 , 10} J \approx 0, 809 J = \frac{2 \cdot 4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 0 , 809}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 6 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} m/s \approx 23 m/s, v_{2} \approx 12 m/s = \frac{k q ^{2}}{r _{0}} - \frac{k q ^{2}}{2 r _{0}} = \frac{k q ^{2}}{2 r _{0}} \approx 0, 405 J, v_{1} \approx 16 m/s, v_{2} \approx 8, 2 m/s

Sulle sfere agiscono il peso e la reazione del piano, che si equilibrano, e la forza elettrica tra le due sfere, che è una forza interna; il piano è liscio, quindi la quantità di moto totale, inizialmente nulla, resta nulla, e le sfere si muovono in versi opposti con $m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2}$ . Le sfere sono piccole e isolanti, perciò si trattano come cariche puntiformi, e l’unica forza che compie lavoro è la forza elettrica, che è conservativa; per la conservazione dell’energia l’energia cinetica totale è uguale alla diminuzione dell’energia potenziale $\frac{k q ^{2}}{r}$ del sistema. Le due condizioni, che devono valere insieme, formano il sistema; sostituendo $v_{2} = \frac{m _{1}}{m _{2}} v_{1}$ nella seconda equazione si ricava $v_{1}$ .

A distanza $20 cm$ l’energia potenziale si è dimezzata, quindi è stata liberata metà dell’energia disponibile e le velocità sono quelle finali divise per $2$ . La sfera più leggera ha velocità doppia, e quindi energia cinetica doppia: riceve i $\frac{2}{3}$ dell’energia liberata.