Esercizi svolti · Scheda 2

Riflessioni totali e angoli limite

Teoria usata: Riflessione totale e angolo limite Legge di Snell Verso della deviazione

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Esercizio 1

Una piccola lampada si trova sul fondo di una piscina, a profondità $h = 1, 20 m$ sotto la superficie dell’acqua ( $n = 1, 33$ ), che è piana e in quiete. Visti dall’alto, i raggi della lampada escono dall’acqua solo attraverso un disco luminoso centrato sulla verticale della lampada. Calcolare il raggio del disco e la sua area.

I raggi della lampada

S

che incidono sulla superficie oltre l'angolo limite

θ_{c}

vengono riflessi totalmente; escono solo quelli che cadono entro il disco di raggio

r

sin θ_{c} = \frac{1}{n}, r = h tan θ_{c} = \frac{h}{n ^{2} - 1}, A = π r^{2}

θ_{c} r A = arcsin \frac{1}{1 , 33} \approx 48, 8^{\circ} = \frac{1 , 20}{1 , 3 3 ^{2} - 1} m = \frac{1 , 20}{0 , 877} m \approx 1, 37 m = π \cdot 1, 3 7^{2} m^{2} \approx 5, 88 m^{2}

La luce passa dall’acqua all’aria, cioè verso un mezzo meno rifrangente, quindi esiste l’angolo limite $θ_{c}$ , con $sin θ_{c} = \frac{1}{n}$ . Un raggio che parte dalla lampada con angolo $θ$ rispetto alla verticale incide sulla superficie con lo stesso angolo $θ$ , perché la normale alla superficie è verticale, e la raggiunge alla distanza $h tan θ$ dalla verticale della lampada. I raggi con $θ < θ_{c}$ escono, quelli con $θ > θ_{c}$ vengono riflessi totalmente; perciò il bordo del disco luminoso è a distanza $r = h tan θ_{c}$ .

Per la seconda forma della formula si usa $tan θ_{c} = \frac{sin θ _{c}}{1 - sin ^{2} θ _{c}}$ con $sin θ_{c} = \frac{1}{n}$ , che dà $tan θ_{c} = \frac{1}{n ^{2} - 1}$ . Il raggio del disco è proporzionale alla profondità: una lampada più profonda illumina un disco più ampio, ma la luce si distribuisce su un’area maggiore.

Esercizio 2

Un prisma di vetro ha la sezione a forma di triangolo rettangolo isoscele. Un raggio entra perpendicolarmente a uno dei cateti e incide dall’interno sull’ipotenusa. Calcolare il minimo indice di rifrazione del vetro perché sull’ipotenusa avvenga riflessione totale con il prisma in aria. Stabilire poi se un prisma con $n = 1, 50$ produce riflessione totale anche quando è immerso in acqua ( $n_{a} = 1, 33$ ).

θ_{1} = 4 5^{\circ}, θ_{1} \geq θ_{c} ⟺ sin 4 5^{\circ} \geq \frac{n _{est}}{n} ⟺ n \geq 2 n_{est}

in aria: n_{m i n} in acqua: sin θ_{c} = 2 \cdot 1, 00 \approx 1, 41 = \frac{1 , 33}{1 , 50} \approx 0, 887 ⟹ θ_{c} \approx 62, 5^{\circ} > 4 5^{\circ}

Il raggio entra perpendicolarmente al cateto, quindi per la legge di Snell non devia. Il cateto e l’ipotenusa formano un angolo di $4 5^{\circ}$ , perciò il raggio interno, perpendicolare al cateto, forma $4 5^{\circ}$ con la normale all’ipotenusa: l’angolo di incidenza sull’ipotenusa è $4 5^{\circ}$ . C’è riflessione totale se questo angolo è almeno uguale all’angolo limite, cioè se $sin 4 5^{\circ} \geq \frac{n _{est}}{n}$ , dove $n_{est}$ è l’indice del mezzo esterno. In aria serve $n \geq 2 \approx 1, 41$ , e un vetro comune con $n = 1, 50$ soddisfa la condizione.

In acqua il rapporto tra gli indici è $\frac{1 , 50}{1 , 33} \approx 1, 13$ , minore di $2$ . L’angolo limite vetro-acqua è circa $62, 5^{\circ}$ , maggiore di $4 5^{\circ}$ , quindi il raggio esce in parte dall’ipotenusa e il prisma immerso non produce riflessione totale.

Esercizio 3

Una fibra ottica ha il nucleo con indice $n_{1} = 1, 50$ e il mantello con indice $n_{2} = 1, 40$ . Un raggio che si propaga in aria incide sulla faccia d’ingresso della fibra, piana e perpendicolare all’asse, formando con l’asse l’angolo $θ_{a}$ . Calcolare l’angolo limite tra nucleo e mantello e il massimo valore di $θ_{a}$ per cui il raggio resta guidato nel nucleo.

Il raggio entra con angolo

θ_{a}

, si rifrange con angolo

θ_{r}

e incide sul mantello con

θ = 9 0^{\circ} - θ_{r}

: è guidato se

θ \geq θ_{c}

sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}, sin θ_{a} = n_{1} sin θ_{r}, θ_{r} = 9 0^{\circ} - θ

θ \geq θ_{c} ⟺ sin θ_{a} \leq n_{1} cos θ_{c} = n_{1} 1 - \frac{n _{2}^{2}}{n _{1}^{2}} = n_{1}^{2} - n_{2}^{2}

θ_{c} sin θ_{a, m a x} = arcsin \frac{1 , 40}{1 , 50} \approx 69, 0^{\circ} = 1, 5 0^{2} - 1, 4 0^{2} = 0, 29 \approx 0, 539 ⟹ θ_{a, m a x} \approx 32, 6^{\circ}

All’ingresso la normale alla faccia è parallela all’asse, quindi il raggio forma con la normale l’angolo $θ_{a}$ in aria e l’angolo $θ_{r}$ nel nucleo, legati dalla legge di Snell. Il raggio rifratto incide poi sulla superficie laterale, la cui normale è perpendicolare all’asse, perciò l’angolo di incidenza sul mantello è $θ = 9 0^{\circ} - θ_{r}$ .

Il raggio resta nel nucleo se su questa superficie avviene riflessione totale, cioè se $θ \geq θ_{c}$ . Un angolo $θ_{a}$ maggiore dà un $θ_{r}$ maggiore e quindi un $θ$ minore; la condizione equivale perciò a $θ_{r} \leq 9 0^{\circ} - θ_{c}$ , cioè a $sin θ_{a} \leq n_{1} cos θ_{c}$ . Scrivendo il coseno con $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ si ottiene $sin θ_{a} \leq n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ . Con i dati la fibra accetta i raggi entro $32, 6^{\circ}$ dall’asse; il limite corrisponde a $θ_{r} \approx 21, 0^{\circ}$ , complementare dell’angolo limite. La grandezza $n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ si chiama apertura numerica della fibra.