Esercizi svolti · Scheda 3

Immagini date da lenti sottili

Teoria usata: Equazione delle lenti sottili Convenzione dei segni e ingrandimento Lente sottile Raggi principali di una lente Formula del costruttore di lenti Sistemi di due lenti Oggetto e immagine

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Esercizio 1

Un oggetto alto $y = 2, 0 cm$ si trova a $p = 30 cm$ da una lente sottile convergente con distanza focale $f = 12 cm$ . Determinare posizione, altezza e caratteristiche dell’immagine.

Costruzione dell'immagine con i tre raggi principali per

f = 12 cm

p = 30 cm

; le altezze sono disegnate in scala maggiore delle distanze

\frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p}, m = - \frac{q}{p}, y^{'} = m y

\frac{1}{q} m y^{'} = \frac{1}{12 cm} - \frac{1}{30 cm} = \frac{5 - 2}{60 cm} = \frac{1}{20 cm} ⟹ q = 20 cm = - \frac{20}{30} \approx - 0, 67 = - 0, 67 \cdot 2, 0 cm \approx - 1, 3 cm

La lente è sottile e l’oggetto è piccolo rispetto alle distanze, quindi si applica l’equazione delle lenti sottili con $f > 0$ , perché la lente è convergente, e $p > 0$ , perché l’oggetto è reale. Si ottiene $q = 20 cm$ , positivo, perciò l’immagine è reale e si forma dall’altra parte della lente, dove uno schermo la raccoglie.

L’ingrandimento è negativo e minore di $1$ in valore assoluto, quindi l’immagine è capovolta e rimpicciolita, alta $1, 3 cm$ . Il risultato è coerente con la posizione dell’oggetto: $p = 30 cm$ supera $2 f = 24 cm$ , e per un oggetto oltre il doppio della distanza focale l’immagine cade tra $f$ e $2 f$ , infatti $12 cm < q < 24 cm$ . La costruzione grafica conferma il calcolo: il raggio parallelo all’asse, quello per il centro e quello per il fuoco $F$ si incontrano nella punta dell’immagine.

Esercizio 2

Una lente convergente con $f = 8, 0 cm$ è usata come lente d’ingrandimento. A quale distanza dalla lente va posto un oggetto per vederne un’immagine diritta e ingrandita tre volte? Dove si forma l’immagine?

m = - \frac{q}{p} = 3 ⟹ q = - 3 p

\frac{1}{p} - \frac{1}{3 p} = \frac{1}{f} ⟹ \frac{2}{3 p} = \frac{1}{f} ⟹ p = \frac{2}{3} f

p = \frac{2}{3} \cdot 8, 0 cm \approx 5, 3 cm, q = - 3 \cdot \frac{16}{3} cm = - 16 cm

Un’immagine diritta ha ingrandimento positivo, quindi $m = 3$ , e dalla formula dell’ingrandimento $q = - 3 p$ : poiché $p > 0$ , risulta $q < 0$ , cioè l’immagine è virtuale. Sostituendo $q = - 3 p$ nell’equazione delle lenti sottili rimane un’equazione nella sola incognita $p$ , che dà $p = \frac{2}{3} f = \frac{16}{3} cm \approx 5, 3 cm$ .

L’oggetto si trova tra il fuoco e la lente, come deve essere per una lente d’ingrandimento. L’immagine è a $16 cm$ dalla lente, dalla stessa parte dell’oggetto; l’occhio, posto dall’altra parte, la vede attraverso la lente diritta e tre volte più grande.

Esercizio 3

Una lente biconcava di vetro con $n = 1, 50$ ha le due facce con raggio di curvatura $30 cm$ . Calcolare la distanza focale e il potere diottrico della lente in aria, e l’immagine di un oggetto posto a $20 cm$ dalla lente.

R_{1} = - 30 cm, R_{2} = + 30 cm, \frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}})

\frac{1}{f} P \frac{1}{q} m = 0, 50 \cdot (- \frac{1}{30 cm} - \frac{1}{30 cm}) = - \frac{1}{30 cm} ⟹ f = - 30 cm = \frac{1}{- 0 , 30 m} \approx - 3, 3 D = - \frac{1}{30 cm} - \frac{1}{20 cm} = - \frac{5}{60 cm} ⟹ q = - 12 cm = - \frac{- 12}{20} = 0, 60

Per la formula del costruttore di lenti servono i segni dei raggi. La prima faccia è concava verso la luce in arrivo, quindi il suo centro di curvatura sta dalla parte da cui la luce arriva e $R_{1} < 0$ ; la seconda faccia ha il centro di curvatura dalla parte da cui la luce esce, quindi $R_{2} > 0$ . La formula dà $f = - 30 cm$ : la lente è divergente, come ogni lente in aria più sottile al centro che ai bordi, e il suo potere diottrico, calcolato con $f$ in metri, è negativo.

Con l’equazione delle lenti, $f$ negativo e $p = 20 cm$ , si ottiene $q = - 12 cm$ : l’immagine è virtuale, dalla stessa parte dell’oggetto, a $12 cm$ dalla lente. L’ingrandimento $0, 60$ è positivo e minore di $1$ , quindi l’immagine è diritta e rimpicciolita, come per ogni oggetto reale davanti a una lente divergente.

Esercizio 4

Due lenti convergenti sottili, $L_{1}$ con $f_{1} = 10 cm$ e $L_{2}$ con $f_{2} = 15 cm$ , sono poste sullo stesso asse a distanza $D = 40 cm$ . Un oggetto si trova a $15 cm$ davanti a $L_{1}$ . Determinare la posizione dell’immagine finale, l’ingrandimento complessivo e le caratteristiche dell’immagine.

\frac{1}{q _{1}} = \frac{1}{f _{1}} - \frac{1}{p _{1}}, p_{2} = D - q_{1}, \frac{1}{q _{2}} = \frac{1}{f _{2}} - \frac{1}{p _{2}}, m = m_{1} m_{2} = \frac{q _{1}}{p _{1}} \cdot \frac{q _{2}}{p _{2}}

\frac{1}{q _{1}} p_{2} \frac{1}{q _{2}} m = \frac{1}{10 cm} - \frac{1}{15 cm} = \frac{1}{30 cm} ⟹ q_{1} = 30 cm, m_{1} = - \frac{30}{15} = - 2 = 40 cm - 30 cm = 10 cm = \frac{1}{15 cm} - \frac{1}{10 cm} = - \frac{1}{30 cm} ⟹ q_{2} = - 30 cm, m_{2} = - \frac{- 30}{10} = 3 = (- 2) \cdot 3 = - 6

Il sistema si risolve una lente alla volta, perché l’immagine data dalla prima lente fa da oggetto per la seconda. La prima lente forma un’immagine reale a $30 cm$ oltre $L_{1}$ , capovolta e ingrandita due volte. Questa immagine si trova $10 cm$ prima di $L_{2}$ , quindi è un oggetto reale per la seconda lente, con $p_{2} = 10 cm$ .

L’oggetto è più vicino a $L_{2}$ della sua distanza focale, perciò la seconda lente agisce da lente d’ingrandimento: $q_{2} = - 30 cm$ , cioè l’immagine finale è virtuale, $30 cm$ prima di $L_{2}$ , e quindi $10 cm$ oltre $L_{1}$ , tra le due lenti. Le due immagini successive sono ingrandite di $- 2$ e di $3$ , e l’ingrandimento complessivo è il prodotto, $- 6$ : rispetto all’oggetto l’immagine finale è virtuale, capovolta e sei volte più grande.