Esercizi svolti · Scheda 1

Rifrazioni con la legge di Snell

Teoria usata: Legge di Snell Riflessione totale e angolo limite Indice di rifrazione Frequenza e lunghezza d'onda in un mezzo Verso della deviazione Lamina a facce parallele

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Esercizio 1

Un raggio di luce gialla, con lunghezza d’onda nel vuoto $λ = 589 nm$ , passa dall’aria all’acqua ( $n = 1, 33$ ) con angolo di incidenza $θ_{1} = 4 0^{\circ}$ . Calcolare l’angolo di rifrazione e, in acqua, la frequenza, la velocità e la lunghezza d’onda della luce.

sin θ_{2} = \frac{sin θ _{1}}{n}, ν = \frac{c}{λ}, v = \frac{c}{n}, λ_{n} = \frac{λ}{n}

sin θ_{2} ν v λ_{n} = \frac{sin 4 0 ^{\circ}}{1 , 33} = \frac{0 , 643}{1 , 33} \approx 0, 483 ⟹ θ_{2} \approx 28, 9^{\circ} = \frac{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}}{5 , 89 \cdot 1 0 ^{- 7}} Hz \approx 5, 09 \cdot 1 0^{14} Hz = \frac{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 33} m/s \approx 2, 26 \cdot 1 0^{8} m/s = \frac{589}{1 , 33} nm \approx 443 nm

L’indice dell’aria si prende uguale a $1, 00$ , quindi la legge di Snell $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ si riduce a $sin θ_{1} = n sin θ_{2}$ . L’acqua è più rifrangente dell’aria, perciò il raggio si avvicina alla normale, e infatti $28, 9^{\circ} < 4 0^{\circ}$ .

La frequenza è imposta dalla sorgente e non cambia nel passaggio da un mezzo all’altro, quindi si calcola con la lunghezza d’onda nel vuoto. La velocità in acqua segue dalla definizione di indice di rifrazione, $n = \frac{c}{v}$ . La lunghezza d’onda in acqua è il rapporto tra velocità e frequenza, cioè $\frac{λ}{n}$ : la luce resta gialla, perché il colore dipende dalla frequenza, e la lunghezza d’onda si accorcia nello stesso rapporto della velocità. Come controllo, $λ_{n} ν = 4, 43 \cdot 1 0^{- 7} \cdot 5, 09 \cdot 1 0^{14} m/s \approx 2, 26 \cdot 1 0^{8} m/s$ , che è la velocità trovata.

Esercizio 2

Un raggio incide con $θ_{1} = 5 0^{\circ}$ su una lastra di vetro a facce parallele, spessa $t = 4, 0 cm$ , con indice $n = 1, 50$ , immersa in aria. Calcolare l’angolo di rifrazione nel vetro, la direzione del raggio emergente e il suo spostamento laterale rispetto al raggio incidente.

Il raggio attraversa la lastra da

A

B

ed emerge parallelo al raggio incidente, il cui prolungamento è tratteggiato;

d

è lo spostamento laterale

sin θ_{2} = \frac{sin θ _{1}}{n}, θ_{3} = θ_{1}, d = \frac{t sin ( θ _{1} - θ _{2} )}{cos θ _{2}}

sin θ_{2} d = \frac{sin 5 0 ^{\circ}}{1 , 50} = \frac{0 , 766}{1 , 50} \approx 0, 511 ⟹ θ_{2} \approx 30, 7^{\circ} = \frac{4 , 0 \cdot sin 19 , 3 ^{\circ}}{cos 30 , 7 ^{\circ}} cm = \frac{4 , 0 \cdot 0 , 330}{0 , 860} cm \approx 1, 5 cm

Alla prima faccia la legge di Snell dà l’angolo di rifrazione nel vetro, $30, 7^{\circ}$ . Le due facce sono parallele, quindi il raggio interno incide sulla seconda faccia con lo stesso angolo $θ_{2}$ ; la legge di Snell alla seconda faccia, $n sin θ_{2} = sin θ_{3}$ , dà $sin θ_{3} = sin θ_{1}$ , perciò il raggio emerge con $θ_{3} = 5 0^{\circ}$ , parallelo al raggio incidente.

Per lo spostamento si usa il teorema sulla lamina a facce parallele. Il tratto $A B$ percorso nel vetro è lungo $\frac{t}{cos θ _{2}} \approx 4, 65 cm$ e forma l’angolo $θ_{1} - θ_{2} = 19, 3^{\circ}$ con il prolungamento del raggio incidente; la distanza di $B$ da quel prolungamento è quindi $A B sin (θ_{1} - θ_{2}) \approx 1, 5 cm$ . Il risultato è minore dello spessore, come deve essere per un angolo di incidenza minore di $9 0^{\circ}$ .

Esercizio 3

Un prisma di vetro con indice $n = 1, 50$ ha la sezione a forma di triangolo equilatero, quindi l’angolo al vertice è $A = 6 0^{\circ}$ . Un raggio contenuto nel piano della sezione incide su una faccia con angolo $θ_{1} = 4 5^{\circ}$ , entra nel prisma ed esce dalla seconda faccia. Calcolare l’angolo di uscita $θ_{4}$ e l’angolo di deviazione $δ$ tra il raggio uscente e il raggio incidente.

sin θ_{2} = \frac{sin θ _{1}}{n}, θ_{3} = A - θ_{2}, sin θ_{4} = n sin θ_{3}, δ = θ_{1} + θ_{4} - A

sin θ_{2} θ_{3} sin θ_{4} δ = \frac{0 , 707}{1 , 50} \approx 0, 471 ⟹ θ_{2} \approx 28, 1^{\circ} = 6 0^{\circ} - 28, 1^{\circ} = 31, 9^{\circ} = 1, 50 \cdot sin 31, 9^{\circ} \approx 0, 792 ⟹ θ_{4} \approx 52, 4^{\circ} = 4 5^{\circ} + 52, 4^{\circ} - 6 0^{\circ} \approx 37, 4^{\circ}

Alla prima faccia la legge di Snell dà l’angolo $θ_{2}$ del raggio interno con la normale a quella faccia. Per trovare l’angolo di incidenza $θ_{3}$ sulla seconda faccia serve la geometria del prisma: le due normali formano tra loro un angolo uguale ad $A$ , perché sono perpendicolari a due facce che formano l’angolo $A$ ; nel triangolo che il raggio interno forma con le due normali, l’angolo esterno è quindi $A = θ_{2} + θ_{3}$ .

Alla seconda faccia la luce passa dal vetro all’aria. L’angolo limite vetro-aria è $arcsin \frac{1}{1 , 50} \approx 41, 8^{\circ}$ e $θ_{3} = 31, 9^{\circ}$ è minore, perciò il raggio esce, allontanandosi dalla normale, con $θ_{4} \approx 52, 4^{\circ}$ . Ciascuna faccia devia il raggio verso la base del prisma, la prima di $θ_{1} - θ_{2}$ e la seconda di $θ_{4} - θ_{3}$ ; sommando e usando $θ_{2} + θ_{3} = A$ si ottiene la deviazione totale $δ = θ_{1} + θ_{4} - A \approx 37, 4^{\circ}$ .