Esercizi svolti · Scheda 2

Sbarrette in moto su binari

Teoria usata: F.e.m. di una sbarretta in moto Corrente indotta Sbarretta lanciata su binari Bilancio energetico Verso della corrente indotta (legge di Lenz)Carica indotta (legge di Felici)

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Esercizio 1

Due binari conduttori orizzontali, a distanza $ℓ = 0, 50 m$ , sono chiusi da un resistore $R = 2, 0 Ω$ e immersi in un campo magnetico uniforme $B = 0, 80 T$ , perpendicolare al piano dei binari ed entrante nel foglio. Una sbarretta conduttrice, perpendicolare ai binari, viene trascinata da una forza esterna verso destra a velocità costante $v = 4, 0 m/s$ . Trascurando gli attriti, le resistenze di binari e sbarretta e l’autoinduzione, calcolare la f.e.m. indotta, la corrente e il suo verso, la forza esterna e la potenza dissipata nel resistore.

La sbarretta trascinata verso destra: la corrente indotta

I

circola in verso antiorario, la forza magnetica

F_{m}

è rivolta verso sinistra e la forza esterna

F_{est}

la equilibra

E = B ℓ v, I = \frac{E}{R}, F_{est} = F_{m} = I ℓ B = \frac{B ^{2} ℓ ^{2} v}{R}, P = R I^{2}

E I F_{est} P = 0, 80 \cdot 0, 50 \cdot 4, 0 V = 1, 6 V = \frac{1 , 6}{2 , 0} A = 0, 80 A = 0, 80 \cdot 0, 50 \cdot 0, 80 N = 0, 32 N = 2, 0 \cdot 0, 8 0^{2} W \approx 1, 3 W

La sbarretta, il campo e la velocità sono perpendicolari a due a due, quindi si applica il teorema sulla f.e.m. di una sbarretta in moto. Il circuito ha resistenza $R$ , perciò la corrente è $\frac{E}{R}$ . L’area del circuito aumenta e con essa il flusso entrante; per la legge di Lenz la corrente genera all’interno del circuito un campo uscente, e quindi circola in verso antiorario, cioè dal basso verso l’alto nella sbarretta.

Sulla sbarretta percorsa da corrente agisce la forza magnetica $I ℓ \times B$ , rivolta verso sinistra. La velocità è costante, quindi la risultante delle forze è nulla e la forza esterna ha lo stesso modulo della forza magnetica. Come controllo, la potenza della forza esterna è $F_{est} v = 0, 32 \cdot 4, 0 W = 1, 28 W$ , uguale alla potenza dissipata nel resistore, in accordo con il bilancio energetico.

Esercizio 2

Due binari conduttori verticali, a distanza $ℓ = 25 cm$ , sono collegati in alto da un resistore $R = 0, 50 Ω$ e immersi in un campo magnetico orizzontale uniforme $B = 0, 60 T$ , perpendicolare al piano dei binari. Una sbarretta orizzontale di massa $m = 20 g$ viene lasciata cadere da ferma, restando in contatto con i binari senza attrito. Trascurando le resistenze di binari e sbarretta e l’autoinduzione, determinare la legge $v (t)$ , la velocità limite e il tempo dopo il quale la velocità ha raggiunto il $90 %$ della velocità limite.

m \frac{d v}{d t} = m g - \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} v ⟹ \frac{d v}{d t} + \frac{1}{τ} v = g, τ = \frac{m R}{B ^{2} ℓ ^{2}}

v (t) = v_{lim} (1 - e^{- \frac{t}{τ}}), v_{lim} = g τ = \frac{m g R}{B ^{2} ℓ ^{2}}, t_{90} = τ ln 10

B^{2} ℓ^{2} τ v_{lim} t_{90} = 0, 6 0^{2} \cdot 0, 2 5^{2} T^{2} \cdot m^{2} = 0, 0225 T^{2} \cdot m^{2} = \frac{0 , 020 \cdot 0 , 50}{0 , 0225} s \approx 0, 44 s = \frac{0 , 020 \cdot 9 , 81 \cdot 0 , 50}{0 , 0225} m/s \approx 4, 4 m/s = 0, 444 \cdot 2, 303 s \approx 1, 0 s

Sulla sbarretta agiscono il peso, verso il basso, e la forza magnetica dovuta alla corrente indotta, di modulo $\frac{B ^{2} ℓ ^{2} v}{R}$ come nel teorema sulla sbarretta su binari; per la legge di Lenz la forza magnetica si oppone alla caduta, quindi è rivolta verso l’alto. Il secondo principio della dinamica dà un’equazione lineare del primo ordine con $a = \frac{1}{τ}$ e $b = g$ , e con la condizione $v (0) = 0$ la soluzione tende a $\frac{b}{a} = g τ$ .

La velocità limite è quella per cui la forza magnetica equilibra il peso. La condizione $v = 0, 90 v_{lim}$ equivale a $e^{- \frac{t}{τ}} = 0, 10$ , cioè a $t = τ ln 10$ ; dopo circa un secondo la sbarretta cade quindi a velocità praticamente costante. A regime la potenza del peso, $m g v_{lim} \approx 0, 86 W$ , si dissipa tutta nel resistore.

Esercizio 3

Su due binari orizzontali, a distanza $ℓ = 0, 50 m$ e chiusi da un resistore $R = 0, 20 Ω$ , una sbarretta di massa $m = 0, 10 kg$ viene lanciata con velocità $v_{0} = 3, 0 m/s$ in un campo uniforme $B = 0, 40 T$ perpendicolare al piano dei binari. Trascurando attriti, resistenze di binari e sbarretta e autoinduzione, calcolare la costante di tempo del moto, lo spazio percorso fino all’arresto, il calore dissipato nel resistore e la carica che lo attraversa.

τ = \frac{m R}{B ^{2} ℓ ^{2}}, x_{tot} = \int_{0}^{+ \infty} v_{0} e^{- \frac{t}{τ}} d t = v_{0} τ, W_{R} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, q = \frac{B ℓ x _{tot}}{R}

τ x_{tot} W_{R} q = \frac{0 , 10 \cdot 0 , 20}{0 , 4 0 ^{2} \cdot 0 , 5 0 ^{2}} s = 0, 50 s = 3, 0 \cdot 0, 50 m = 1, 5 m = \frac{1}{2} \cdot 0, 10 \cdot 3, 0^{2} J = 0, 45 J = \frac{0 , 40 \cdot 0 , 50 \cdot 1 , 5}{0 , 20} C = 1, 5 C

L’unica forza che agisce lungo i binari è la forza magnetica frenante, quindi per il teorema sulla sbarretta su binari la velocità decresce esponenzialmente con costante di tempo $τ$ . Lo spazio percorso è l’integrale della velocità su tutto il moto, e vale $v_{0} τ$ .

Per il bilancio energetico la potenza dissipata nel resistore è uguale in ogni istante alla potenza persa dalla sbarretta, quindi il calore totale è l’energia cinetica iniziale. La carica segue dalla legge di Felici: il flusso concatenato varia di $B ℓ x_{tot}$ , perché l’area del circuito aumenta di $ℓ x_{tot}$ . Come controllo, il teorema dell’impulso dà lo stesso valore, poiché l’impulso della forza magnetica è $\int B ℓ i d t = B ℓ q$ e deve annullare la quantità di moto iniziale, perciò $q = \frac{m v _{0}}{B ℓ} = \frac{0 , 30}{0 , 20} C = 1, 5 C$ .