Esercizi svolti · Scheda 1

Forze elettromotrici indotte da campi variabili

Teoria usata: Flusso magnetico concatenato Legge di Faraday-Neumann-Lenz Corrente indotta Carica indotta (legge di Felici)Verso della corrente indotta (legge di Lenz)

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Esercizio 1

Una bobina di $N = 200$ spire circolari di raggio $r = 3, 0 cm$ ha l’asse parallelo a un campo magnetico uniforme, il cui modulo cresce in modo uniforme da $0$ a $0, 50 T$ nell’intervallo $Δ t = 0, 10 s$ . La bobina è chiusa su un circuito di resistenza complessiva $R = 4, 0 Ω$ , e la sua autoinduzione è trascurabile. Calcolare il modulo della f.e.m. indotta e della corrente.

Φ_{B} = N B π r^{2}, E = - \frac{d Φ _{B}}{d t}, i = \frac{∣ E ∣}{R}

∣ E ∣ = N π r^{2} \frac{Δ B}{Δ t}, i = \frac{N π r ^{2} Δ B}{R Δ t}

π r^{2} ∣ E ∣ i = π \cdot 0, 03 0^{2} m^{2} \approx 2, 83 \cdot 1 0^{- 3} m^{2} = 200 \cdot 2, 83 \cdot 1 0^{- 3} \cdot \frac{0 , 50}{0 , 10} V \approx 2, 8 V = \frac{2 , 83}{4 , 0} A \approx 0, 71 A

L’asse della bobina è parallelo al campo, quindi la normale alle spire forma con $B$ un angolo nullo e il flusso concatenato è $N B$ per l’area di una spira. Solo il modulo del campo varia, e varia in modo uniforme, perciò la derivata del flusso coincide con il rapporto $\frac{Δ Φ _{B}}{Δ t}$ e la legge di Faraday-Neumann-Lenz dà la f.e.m. costante $N π r^{2} \frac{Δ B}{Δ t}$ . La corrente si ottiene dividendo per la resistenza, poiché l’autoinduzione è trascurabile.

Controllo dimensionale: $T \cdot m^{2} /s = Wb/s$ , e un weber al secondo è un volt, in accordo con la legge di Faraday. La corrente indotta cessa quando il campo smette di crescere.

Esercizio 2

Una spira quadrata di lato $ℓ = 20 cm$ e resistenza $R = 0, 50 Ω$ è ferma in un campo magnetico uniforme, con la normale inclinata di $θ = 6 0^{\circ}$ rispetto al campo. Il modulo del campo varia secondo la legge $B (t) = α t^{2}$ , con $α = 0, 40 T/ s^{2}$ . Trascurando l’autoinduzione, calcolare la corrente indotta all’istante $t_{1} = 3, 0 s$ e la carica che attraversa la spira tra $t = 0$ e $t_{1}$ .

Φ_{B} (t) = α t^{2} ℓ^{2} cos θ, E (t) = - \frac{d Φ _{B}}{d t} = - 2 α t ℓ^{2} cos θ

∣ i (t_{1}) ∣ = \frac{2 α t _{1} ℓ ^{2} cos θ}{R}, ∣ q ∣ = \frac{∣ Φ _{B} ( t _{1} ) - Φ _{B} ( 0 ) ∣}{R} = \frac{α t _{1}^{2} ℓ ^{2} cos θ}{R}

∣ E (t_{1}) ∣ ∣ i (t_{1}) ∣ ∣ q ∣ = 2 \cdot 0, 40 \cdot 3, 0 \cdot 0, 2 0^{2} \cdot 0, 50 V = 0, 048 V = \frac{0 , 048}{0 , 50} A \approx 0, 096 A = \frac{0 , 40 \cdot 3 , 0 ^{2} \cdot 0 , 2 0 ^{2} \cdot 0 , 50}{0 , 50} C \approx 0, 14 C

La spira è piana e il campo è uniforme, quindi il flusso è il prodotto del campo per l’area $ℓ^{2}$ e per $cos θ$ . L’area e l’angolo sono costanti, perciò il flusso varia solo attraverso $B (t)$ , e la sua derivata è $2 α t ℓ^{2} cos θ$ . La f.e.m. cresce linearmente nel tempo, e all’istante $t_{1}$ vale $48 mV$ .

Per la carica si applica la legge di Felici: la carica che attraversa la spira dipende solo dalla variazione del flusso tra l’istante iniziale, in cui il flusso è nullo, e l’istante $t_{1}$ . Lo stesso risultato si ottiene integrando $∣ i (t) ∣ = \frac{2 α t ℓ ^{2} cos θ}{R}$ tra $0$ e $t_{1}$ , poiché $\int_{0}^{t_{1}} 2 t d t = t_{1}^{2}$ .

Esercizio 3

Un solenoide lungo, con $n = 2000$ spire al metro, contiene al suo interno, lontano dalle estremità, una piccola bobina coassiale di $N = 100$ spire di raggio $r = 1, 5 cm$ . La corrente nel solenoide cresce in modo uniforme da $0$ a $3, 0 A$ in $50 ms$ . Calcolare la f.e.m. indotta nella bobina e stabilire il verso della corrente indotta rispetto a quello della corrente nel solenoide.

B = μ_{0} n i_{s}, Φ_{B} = N B π r^{2} = N μ_{0} n π r^{2} i_{s}, ∣ E ∣ = N μ_{0} n π r^{2} \frac{Δ i _{s}}{Δ t}

μ_{0} n π r^{2} ∣ E ∣ = 4 π \cdot 1 0^{- 7} \cdot 2000 T/A \approx 2, 51 \cdot 1 0^{- 3} T/A = π \cdot 0, 01 5^{2} m^{2} \approx 7, 07 \cdot 1 0^{- 4} m^{2} = 100 \cdot 2, 51 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 7, 07 \cdot 1 0^{- 4} \cdot \frac{3 , 0}{0 , 050} V \approx 1, 1 \cdot 1 0^{- 2} V

All’interno di un solenoide lungo il campo è uniforme, parallelo all’asse e vale $μ_{0} n i_{s}$ , come si è visto nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico. La bobina è coassiale, quindi le sue spire sono perpendicolari al campo e il flusso concatenato è $N B π r^{2}$ , proporzionale alla corrente $i_{s}$ . La corrente cresce in modo uniforme di $60 A$ al secondo, e la legge di Faraday-Neumann-Lenz dà una f.e.m. costante di circa $11 mV$ .

Il flusso nella bobina aumenta, perciò per la legge di Lenz la corrente indotta genera un campo opposto a quello del solenoide; quindi la corrente nella bobina circola in verso opposto a quella del solenoide. Durante l’aumento il campo nel solenoide raggiunge $μ_{0} n \cdot 3, 0 A \approx 7, 5 mT$ , un valore tipico dei solenoidi di laboratorio.