Esercizi svolti · Scheda 3

Versi delle correnti indotte

Teoria usata: Verso della corrente indotta (legge di Lenz)lenz variazione Legge di Faraday-Neumann-Lenz Corrente indotta F.e.m. di una sbarretta in moto

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Esercizio 1

Una spira circolare di raggio $r = 5, 0 cm$ e resistenza $R = 0, 10 Ω$ giace nel piano del foglio, in un campo magnetico uniforme uscente dal foglio. Il modulo del campo diminuisce in modo uniforme da $0, 60 T$ a $0, 20 T$ in $Δ t = 0, 20 s$ . Trascurando l’autoinduzione, determinare il verso della corrente indotta, vista dal lettore, e la sua intensità.

Il campo uscente

B

diminuisce: la corrente indotta circola in verso antiorario e genera all'interno il campo uscente

B^{'}

, concorde con

B

Φ_{B} = B π r^{2}, ∣ E ∣ = π r^{2} \frac{∣Δ B ∣}{Δ t}, i = \frac{∣ E ∣}{R}

∣ E ∣ i = π \cdot 0, 05 0^{2} \cdot \frac{0 , 60 - 0 , 20}{0 , 20} V \approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 2} V = \frac{1 , 57 \cdot 1 0 ^{- 2}}{0 , 10} A \approx 0, 16 A

Si applica la legge di Lenz in tre passi. Il flusso uscente attraverso la spira diminuisce, perché diminuisce il campo; il campo indotto deve opporsi a questa diminuzione, quindi all’interno della spira è uscente, concorde con il campo esterno. Per la regola della mano destra, con il pollice rivolto verso il lettore, le dita si chiudono in verso antiorario; perciò la corrente indotta circola in verso antiorario.

L’intensità segue dalla legge di Faraday-Neumann-Lenz. Il campo varia di $0, 40 T$ in $0, 20 s$ , cioè di $2, 0 T/s$ , e la f.e.m. è il prodotto di questa rapidità per l’area della spira. Se il campo aumentasse con la stessa rapidità, l’intensità sarebbe la stessa e il verso sarebbe orario.

Esercizio 2

Una spira quadrata di lato $a = 10 cm$ e resistenza $R = 0, 020 Ω$ si muove con velocità costante $v = 0, 50 m/s$ nel piano del foglio e attraversa una regione larga $d = 30 cm$ in cui c’è un campo uniforme $B = 0, 40 T$ entrante nel foglio; fuori dalla regione il campo è nullo. La velocità è perpendicolare ai bordi della regione e all’istante $t = 0$ il lato anteriore della spira entra nel campo. Trascurando l’autoinduzione, descrivere la corrente indotta in funzione del tempo e calcolare l’energia dissipata nell’attraversamento.

E = B a v, i = \frac{B a v}{R}, t_{entrata} = \frac{a}{v}, t_{inizio uscita} = \frac{d}{v}, t_{fine} = \frac{d + a}{v}

W_{diss} = 2 \cdot R i^{2} \cdot \frac{a}{v} = \frac{2 B ^{2} a ^{3} v}{R}

E i t_{entrata} W_{diss} = 0, 40 \cdot 0, 10 \cdot 0, 50 V = 0, 020 V = \frac{0 , 020}{0 , 020} A = 1, 0 A = 0, 20 s, t_{inizio uscita} = 0, 60 s, t_{fine} = 0, 80 s = 2 \cdot 0, 020 \cdot 1, 0^{2} \cdot 0, 20 J = 8, 0 \cdot 1 0^{- 3} J

Corrente indotta in ampere, positiva in verso antiorario, con il tempo in decimi di secondo: la corrente circola solo mentre la spira entra e mentre esce dal campo

Durante l’entrata, che dura fino all’istante $t_{entrata}$ , il lato anteriore della spira è nel campo e il lato posteriore no; l’area immersa cresce con rapidità $a v$ , quindi il flusso entrante cresce con rapidità $B a v$ , e questa è la f.e.m. Per la legge di Lenz la corrente genera un campo uscente, perciò circola in verso antiorario. Quando la spira è tutta immersa, fino all’istante $t_{inizio uscita}$ in cui il lato anteriore raggiunge il bordo opposto della regione, il flusso è costante, quindi la corrente è nulla, anche se la spira si muove nel campo. Durante l’uscita, che termina all’istante $t_{fine}$ , il flusso entrante diminuisce con la stessa rapidità, e la corrente ha la stessa intensità e verso orario.

La corrente circola per due intervalli di $0, 20 s$ ciascuno, e in ogni intervallo la potenza dissipata è $R i^{2} = 0, 020 W$ . L’energia dissipata, $8, 0 mJ$ , è uguale al lavoro della forza esterna che mantiene costante la velocità: nelle due fasi questa forza equilibra la forza magnetica $B ia = 0, 040 N$ sul lato immerso, e il suo lavoro è $0, 040 \cdot 0, 20 J$ in totale, poiché la spira percorre $0, 10 m$ in ciascuna fase.

Esercizio 3

Un filo rettilineo indefinito è percorso dalla corrente $I = 10 A$ verso l’alto. Nel piano del filo, alla sua destra, si trova una spira rettangolare con i lati di lunghezza $b = 20 cm$ paralleli al filo e i lati di lunghezza $a = 10 cm$ perpendicolari. La spira si allontana dal filo con velocità $v = 2, 0 m/s$ , e nell’istante considerato il lato più vicino dista $x = 5, 0 cm$ dal filo. Calcolare la f.e.m. indotta in quell’istante e stabilire il verso della corrente.

Spira rettangolare che si allontana da un filo percorso dalla corrente

I

: il campo del filo è entrante nella regione della spira e il flusso diminuisce, quindi la corrente indotta

i

circola in verso orario

B (s) = \frac{μ _{0} I}{2 π s}, E = (B (x) - B (x + a)) b v = \frac{μ _{0} I ab v}{2 π x ( x + a )}

B (x) B (x + a) E = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{2 π \cdot 0 , 050} T = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} T = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{2 π \cdot 0 , 15} T \approx 1, 33 \cdot 1 0^{- 5} T = (4, 0 - 1, 33) \cdot 1 0^{- 5} \cdot 0, 20 \cdot 2, 0 V \approx 1, 1 \cdot 1 0^{- 5} V

Il campo del filo è perpendicolare al piano del foglio e ha modulo $\frac{μ _{0} I}{2 π s}$ a distanza $s$ , come si è visto nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico; con la corrente verso l’alto, a destra del filo è entrante. Il campo non è uniforme, quindi conviene usare la f.e.m. mozionale lato per lato. I due lati perpendicolari al filo si muovono parallelamente a sé stessi, e la forza di Lorentz sulle loro cariche è perpendicolare al lato, perciò non danno contributo. Sui due lati paralleli al filo la f.e.m. vale $B b v$ , con il campo calcolato alla distanza di ciascun lato; nel circuito le due f.e.m. sono opposte, quindi la f.e.m. totale è la loro differenza.

Il verso segue dalla legge di Lenz: allontanandosi dal filo la spira si porta dove il campo è più debole, perciò il flusso entrante diminuisce e la corrente indotta genera un campo entrante, cioè circola in verso orario. Lo stesso risultato si ottiene derivando il flusso $Φ_{B} = \frac{μ _{0} I b}{2 π} ln \frac{x + a}{x}$ rispetto al tempo, con $\frac{d x}{d t} = v$ .