Esercizi svolti · Scheda 2

Resistenze di fili e dipendenza dalla temperatura

Teoria usata: Resistenza di un filo Legge di Ohm in forma locale Conduttori e isolanti Dipendenza della resistività dalla temperatura Resistori in serie

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Per costruire una resistenza da $R = 50 Ω$ si usa un filo di nichel-cromo di diametro $d = 0, 40 mm$ , con resistività $ρ = 1, 1 \cdot 1 0^{- 6} Ω \cdot m$ . Calcolare la lunghezza di filo necessaria.

R = ρ \frac{ℓ}{A} ⟹ ℓ = \frac{R A}{ρ} = \frac{π d ^{2} R}{4 ρ}

A ℓ = π \cdot (0, 20 \cdot 1 0^{- 3})^{2} m^{2} \approx 1, 257 \cdot 1 0^{- 7} m^{2} = \frac{50 \cdot 1 , 257 \cdot 1 0 ^{- 7}}{1 , 1 \cdot 1 0 ^{- 6}} m \approx 5, 7 m

Il filo è cilindrico e omogeneo, quindi si applica la formula della resistenza di un filo, risolta rispetto alla lunghezza. L’area della sezione si calcola con il raggio $0, 20 mm = 0, 20 \cdot 1 0^{- 3} m$ . Le unità sono coerenti: $\frac{Ω \cdot m ^{2}}{Ω \cdot m} = m$ . Con un filo di rame dello stesso diametro, la cui resistività è circa $65$ volte minore, servirebbero più di $350 m$ di filo; per questo nelle resistenze di riscaldamento si usano leghe ad alta resistività.

Esercizio 2

Un filo di rame ha resistenza $R = 2, 0 Ω$ . Il filo viene trafilato fino a triplicarne la lunghezza, senza variazioni di volume né di resistività. Calcolare la nuova resistenza.

{ℓ^{'} = 3 ℓ ℓ^{'} A^{'} = ℓ A ⟹ A^{'} = \frac{A}{3}

R^{'} = ρ \frac{ℓ ^{'}}{A ^{'}} = ρ \frac{3 ℓ}{\frac{A}{3}} = 9 ρ \frac{ℓ}{A} = 9 R = 18 Ω

Il volume del filo è il prodotto della lunghezza per l’area della sezione, e resta costante; poiché la lunghezza triplica, l’area della sezione diventa un terzo. Nella formula della resistenza di un filo la lunghezza compare al numeratore e l’area al denominatore, quindi entrambi i cambiamenti aumentano la resistenza di un fattore $3$ , e la resistenza diventa $9$ volte quella iniziale. In generale, allungando il filo di un fattore $k$ a volume costante, la resistenza aumenta di un fattore $k^{2}$ .

Esercizio 3

Un termometro a resistenza di platino ha resistenza $R_{0} = 100, 0 Ω$ a $T_{0} = 0^{\circ} C$ e coefficiente di temperatura $α = 3, 85 \cdot 1 0^{- 3} K^{- 1}$ . Immerso in un liquido, il termometro ha resistenza $R = 138, 5 Ω$ . Calcolare la temperatura del liquido e la resistenza che il termometro avrebbe a $37, 0^{\circ} C$ .

R = R_{0} [1 + α (T - T_{0})] ⟹ T = T_{0} + \frac{1}{α} (\frac{R}{R _{0}} - 1)

T R (37, 0^{\circ} C) = 0^{\circ} C + \frac{1 , 385 - 1}{3 , 85 \cdot 1 0 ^{- 3}}^{\circ} C = 100^{\circ} C = 100, 0 \cdot (1 + 3, 85 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 37, 0) Ω \approx 114, 2 Ω

Si applica la legge empirica della dipendenza della resistività dalla temperatura, che per un filo di dimensioni costanti vale anche per la resistenza; la dilatazione del filo si trascura. Risolvendo rispetto a $T$ si ottiene la temperatura del liquido, $100^{\circ} C$ . Una differenza di temperatura in kelvin coincide con la stessa differenza in gradi Celsius, quindi $α$ si può usare con le temperature in gradi Celsius. Nel secondo calcolo si usa la legge nel verso diretto; la resistenza aumenta di circa $0, 385 Ω$ per ogni grado, e una variazione di $0, 1 Ω$ corrisponde a circa un quarto di grado.

Esercizio 4

Si vuole realizzare un resistore da $10, 0 Ω$ a $20^{\circ} C$ la cui resistenza non dipenda dalla temperatura, collegando in serie un resistore di carbonio, con coefficiente di temperatura $α_{C} = - 5, 0 \cdot 1 0^{- 4} K^{- 1}$ , e un resistore di rame, con $α_{Cu} = 3, 9 \cdot 1 0^{- 3} K^{- 1}$ . Calcolare le resistenze dei due resistori a $20^{\circ} C$ e verificare il risultato a $70^{\circ} C$ .

R (T) = R_{C} [1 + α_{C} Δ T] + R_{Cu} [1 + α_{Cu} Δ T] = (R_{C} + R_{Cu}) + (α_{C} R_{C} + α_{Cu} R_{Cu}) Δ T

{R_{C} + R_{Cu} = R_{tot} α_{C} R_{C} + α_{Cu} R_{Cu} = 0 ⟹ R_{C} = \frac{α _{Cu}}{α _{Cu} - α _{C}} R_{tot}, R_{Cu} = \frac{- α _{C}}{α _{Cu} - α _{C}} R_{tot}

R_{C} R (70^{\circ} C) = \frac{3 , 9 \cdot 1 0 ^{- 3}}{4 , 4 \cdot 1 0 ^{- 3}} \cdot 10, 0 Ω \approx 8, 86 Ω, R_{Cu} = \frac{0 , 50 \cdot 1 0 ^{- 3}}{4 , 4 \cdot 1 0 ^{- 3}} \cdot 10, 0 Ω \approx 1, 14 Ω = [8, 864 \cdot (1 - 0, 025) + 1, 136 \cdot (1 + 0, 195)] Ω = (8, 642 + 1, 358) Ω = 10, 0 Ω

I resistori sono in serie, quindi per la regola dei resistori in serie la resistenza totale è la somma delle due resistenze, ciascuna delle quali dipende dalla temperatura secondo la legge lineare, con $Δ T = T - 20^{\circ} C$ . Raccogliendo i termini, la resistenza totale è un polinomio di primo grado in $Δ T$ . Perché non dipenda dalla temperatura il coefficiente di $Δ T$ deve annullarsi, e il termine costante deve valere $10, 0 Ω$ : le due condizioni devono valere insieme e formano il sistema.

Il sistema ha soluzione perché i due coefficienti di temperatura hanno segni opposti: l’aumento della resistenza del rame compensa la diminuzione di quella del carbonio. A $70^{\circ} C$ , cioè con $Δ T = 50 K$ , il carbonio perde $0, 222 Ω$ e il rame ne guadagna altrettanti, quindi la resistenza totale resta $10, 0 Ω$ . La compensazione è esatta finché per entrambi i materiali vale la legge lineare.