Esercizi svolti · Scheda 3

Reti di resistori in serie e in parallelo

Teoria usata: Resistori in serie Resistori in parallelo Partitore di tensione e partitore di corrente Legge di Ohm

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Esercizio 1

Un generatore ideale con $E = 12 V$ alimenta il resistore $R_{1} = 2, 0 Ω$ in serie con il parallelo dei resistori $R_{2} = 6, 0 Ω$ e $R_{3} = 3, 0 Ω$ . Calcolare la resistenza equivalente, la corrente erogata dal generatore e le correnti in $R_{2}$ e in $R_{3}$ .

R_{2}

R_{3}

sono in parallelo tra gli stessi due nodi; il loro gruppo è in serie con

R_{1}

R_{23} = \frac{R _{2} R _{3}}{R _{2} + R _{3}}, R_{eq} = R_{1} + R_{23}, I = \frac{E}{R _{eq}}, Δ V_{23} = R_{23} I, I_{k} = \frac{Δ V _{23}}{R _{k}}

R_{23} Δ V_{23} = \frac{6 , 0 \cdot 3 , 0}{9 , 0} Ω = 2, 0 Ω, R_{eq} = 4, 0 Ω, I = \frac{12}{4 , 0} A = 3, 0 A = 2, 0 \cdot 3, 0 V = 6, 0 V, I_{2} = \frac{6 , 0}{6 , 0} A = 1, 0 A, I_{3} = \frac{6 , 0}{3 , 0} A = 2, 0 A

I resistori $R_{2}$ e $R_{3}$ sono collegati tra gli stessi due nodi, quindi sono in parallelo e si sostituiscono con $R_{23}$ . Il resistore $R_{1}$ è percorso dalla stessa corrente del gruppo $R_{23}$ , perciò è in serie con esso, e la resistenza equivalente è la somma. Per la legge di Ohm applicata alla resistenza equivalente si trova la corrente erogata dal generatore.

Ai capi del parallelo c’è la tensione $R_{23} I = 6, 0 V$ , e il resto della tensione del generatore, $6, 0 V$ , cade su $R_{1}$ . Ciascun resistore del parallelo ha ai capi $6, 0 V$ , e la legge di Ohm dà le due correnti. Come controllo, $I_{2} + I_{3} = 3, 0 A = I$ , in accordo con la conservazione della carica nel nodo; la corrente maggiore scorre nel resistore con resistenza minore.

Esercizio 2

Il parallelo dei resistori $R_{1} = 4, 0 Ω$ e $R_{2} = 12 Ω$ è in serie con $R_{3} = 5, 0 Ω$ ; il ramo così formato è in parallelo con $R_{4} = 8, 0 Ω$ , e l’intera rete è alimentata da un generatore ideale con $E = 24 V$ . Calcolare la resistenza equivalente e la corrente in ciascun resistore.

Il parallelo di

R_{1}

R_{2}

è in serie con

R_{3}

, e il ramo così formato è in parallelo con

R_{4}

R_{12} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, R_{123} = R_{12} + R_{3}, R_{eq} = \frac{R _{123} R _{4}}{R _{123} + R _{4}}

R_{12} I Δ V_{12} = \frac{4 , 0 \cdot 12}{16} Ω = 3, 0 Ω, R_{123} = 8, 0 Ω, R_{eq} = \frac{8 , 0 \cdot 8 , 0}{16} Ω = 4, 0 Ω = \frac{24}{4 , 0} A = 6, 0 A, I_{4} = \frac{24}{8 , 0} A = 3, 0 A, I_{3} = \frac{24}{8 , 0} A = 3, 0 A = R_{12} I_{3} = 9, 0 V, I_{1} = \frac{9 , 0}{4 , 0} A \approx 2, 3 A, I_{2} = \frac{9 , 0}{12} A = 0, 75 A

La rete si riduce partendo dal gruppo più interno. $R_{1}$ e $R_{2}$ sono in parallelo e equivalgono a $3, 0 Ω$ ; questo gruppo è percorso dalla stessa corrente di $R_{3}$ , quindi è in serie con $R_{3}$ , e il ramo vale $8, 0 Ω$ . Il ramo e $R_{4}$ sono collegati ai poli del generatore, perciò sono in parallelo, e due resistenze uguali in parallelo equivalgono alla metà di una di esse, $4, 0 Ω$ .

Entrambi i rami hanno ai capi l’intera tensione $E$ e la stessa resistenza, quindi sono percorsi dalla stessa corrente, $3, 0 A$ . Nel ramo, per il partitore di tensione, i $24 V$ si dividono in $15 V$ su $R_{3}$ e $9, 0 V$ sul parallelo $R_{12}$ ; la legge di Ohm dà infine le correnti in $R_{1}$ e $R_{2}$ , che sommate danno $3, 0 A$ . Il valore esatto di $I_{1}$ è $2, 25 A$ .

Esercizio 3

In una rete a scala il morsetto $B$ è collegato a una linea inferiore comune. Il resistore $R_{1}$ collega il morsetto $A$ al nodo $C$ , il resistore $R_{3}$ collega $C$ al nodo $D$ ; il resistore $R_{2}$ collega $C$ alla linea inferiore, il resistore $R_{4}$ collega $D$ alla linea inferiore, e i resistori $R_{5}$ e $R_{6}$ , in serie, collegano anch’essi $D$ alla linea inferiore. Tra $A$ e $B$ è applicata la tensione $Δ V = 32 V$ , e i resistori valgono $R_{1} = 5, 0 Ω$ , $R_{2} = 6, 0 Ω$ , $R_{3} = 4, 0 Ω$ , $R_{4} = 3, 0 Ω$ , $R_{5} = 3, 0 Ω$ e $R_{6} = 3, 0 Ω$ . Calcolare la resistenza equivalente tra $A$ e $B$ e la tensione ai capi di $R_{6}$ .

Rete a scala: si riduce partendo da

R_{5}

R_{6}

, i resistori più lontani dai morsetti

A

B

R_{56} = R_{5} + R_{6}, R_{D} = \frac{R _{4} R _{56}}{R _{4} + R _{56}}, R_{C} = \frac{R _{2} ( R _{3} + R _{D} )}{R _{2} + R _{3} + R _{D}}, R_{eq} = R_{1} + R_{C}

R_{56} I Δ V_{D B} Δ V_{6} = 6, 0 Ω, R_{D} = \frac{3 , 0 \cdot 6 , 0}{9 , 0} Ω = 2, 0 Ω, R_{C} = \frac{6 , 0 \cdot 6 , 0}{12} Ω = 3, 0 Ω, R_{eq} = 8, 0 Ω = \frac{32}{8 , 0} A = 4, 0 A, Δ V_{C B} = R_{C} I = 12 V = \frac{R _{D}}{R _{3} + R _{D}} Δ V_{C B} = \frac{2 , 0}{6 , 0} \cdot 12 V = 4, 0 V = \frac{R _{6}}{R _{5} + R _{6}} Δ V_{D B} = \frac{3 , 0}{6 , 0} \cdot 4, 0 V = 2, 0 V

La rete si riduce partendo dall’estremo lontano dai morsetti. $R_{5}$ e $R_{6}$ sono in serie, perché tra loro non ci sono diramazioni; il gruppo $R_{56}$ è collegato tra il nodo $D$ e la linea inferiore, come $R_{4}$ , quindi è in parallelo con $R_{4}$ . Il resistore equivalente $R_{D}$ è in serie con $R_{3}$ , e il gruppo è in parallelo con $R_{2}$ ; infine $R_{1}$ è in serie con tutto il resto.

Per trovare la tensione su $R_{6}$ si ripercorre la rete in senso inverso. La corrente $I$ entra da $A$ e attraversa $R_{1}$ , quindi $Δ V_{C B}$ è la tensione sulla resistenza equivalente $R_{C}$ . Tra $C$ e la linea inferiore, $R_{3}$ e $R_{D}$ sono in serie, e il partitore di tensione dà la tensione tra $D$ e la linea inferiore; un secondo partitore su $R_{5}$ e $R_{6}$ dà la tensione cercata. La tensione d’ingresso viene ridotta di un fattore $16$ , e reti di questo tipo si usano proprio come attenuatori.