Esercizi svolti · Scheda 1

Correnti, cariche trasportate e velocità di deriva

Teoria usata: Intensità di corrente Densità di corrente Densità di corrente e velocità di deriva Corrente stazionaria e conservazione della carica Legge di Ohm in forma locale

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Esercizio 1

La batteria di un telefono eroga una corrente costante $I = 0, 25 A$ per $Δ t = 2, 0 h$ . Calcolare la carica che attraversa il circuito e il numero di elettroni corrispondente.

Q = I Δ t, N = \frac{Q}{e}

Q N = 0, 25 \cdot 2, 0 \cdot 3600 C = 1, 8 \cdot 1 0^{3} C = \frac{1800}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 1, 1 \cdot 1 0^{22}

La corrente è costante, quindi per la definizione di intensità di corrente la carica trasportata è il prodotto della corrente per l’intervallo di tempo, espresso in secondi: $2, 0 h = 7200 s$ . Ogni elettrone porta la carica $e$ in valore assoluto, perciò il numero di elettroni si ottiene dividendo la carica totale per $e$ . La carica di $1800 C$ corrisponde a $0, 25 A \cdot 2, 0 h = 0, 50 Ah$ , cioè $500 mAh$ , l’unità con cui si indica di solito la capacità delle batterie.

Esercizio 2

In un conduttore l’intensità di corrente cresce linearmente nel tempo secondo la legge $i (t) = (2, 0 + 0, 50 t) A$ , con $t$ in secondi, per $0 \leq t \leq 4, 0 s$ . Calcolare la carica che attraversa una sezione del conduttore in questo intervallo e l’intensità di corrente media.

Corrente

i (t) = (2, 0 + 0, 50 t) A

, con

t

in secondi: la carica trasportata tra

0

4, 0 s

è l'area del trapezio colorato,

12 C

q = \int_{0}^{4, 0} i (t) d t, I_{m} = \frac{q}{Δ t}

q I_{m} = [2, 0 t + 0, 25 t^{2}]_{0}^{4, 0} C = (8, 0 + 4, 0) C = 12 C = \frac{12}{4 , 0} A = 3, 0 A

La corrente varia nel tempo, quindi la carica trasportata è l’integrale di $i (t)$ sull’intervallo, cioè l’area sotto il grafico di $i$ . La regione è un trapezio con basi $2, 0 A$ e $4, 0 A$ e altezza $4, 0 s$ , e il calcolo geometrico, $\frac{( 2 , 0 + 4 , 0 ) \cdot 4 , 0}{2} C = 12 C$ , conferma l’integrale. La corrente media è il rapporto tra la carica e la durata. Poiché $i$ è una funzione lineare, la media coincide con la media aritmetica dei valori agli estremi, $3, 0 A$ .

Esercizio 3

Un filo di rame di diametro $d = 1, 6 mm$ è percorso da una corrente $I = 5, 0 A$ . Il rame ha $n = 8, 5 \cdot 1 0^{28}$ elettroni di conduzione per metro cubo. Calcolare la densità di corrente, la velocità di deriva degli elettroni e il tempo che un elettrone impiega in media a percorrere $1, 0 m$ di filo.

A = \frac{π d ^{2}}{4}, J = \frac{I}{A}, v_{d} = \frac{J}{n e}, Δ t = \frac{ℓ}{v _{d}}

A J v_{d} Δ t = π \cdot (0, 80 \cdot 1 0^{- 3})^{2} m^{2} \approx 2, 01 \cdot 1 0^{- 6} m^{2} = \frac{5 , 0}{2 , 01 \cdot 1 0 ^{- 6}} A/ m^{2} \approx 2, 5 \cdot 1 0^{6} A/ m^{2} = \frac{2 , 49 \cdot 1 0 ^{6}}{8 , 5 \cdot 1 0 ^{28} \cdot 1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} m/s \approx 1, 8 \cdot 1 0^{- 4} m/s = \frac{1 , 0}{1 , 83 \cdot 1 0 ^{- 4}} s \approx 5, 5 \cdot 1 0^{3} s

Si assume che la corrente sia distribuita uniformemente sulla sezione, quindi la densità di corrente è la corrente divisa per l’area della sezione circolare, calcolata con il raggio $0, 80 mm$ . Per la relazione tra densità di corrente e velocità di deriva, $J = n e v_{d}$ in modulo, e si ricava $v_{d}$ . Gli elettroni avanzano in media a velocità costante $v_{d}$ , perciò il tempo per percorrere un metro è il rapporto tra lunghezza e velocità, circa $1, 5 h$ .

Il risultato è molto piccolo rispetto alle velocità di agitazione termica degli elettroni. Un apparecchio collegato al filo si accende comunque subito, perché il campo elettrico si stabilisce lungo tutto il circuito quasi istantaneamente e mette in moto contemporaneamente gli elettroni di ogni tratto.

Esercizio 4

Un filo di alluminio ha un tratto di diametro $d_{1} = 2, 0 mm$ seguito da un tratto di diametro $d_{2} = 1, 0 mm$ ed è percorso da una corrente stazionaria $I = 3, 0 A$ . L’alluminio ha $n = 1, 8 \cdot 1 0^{29}$ elettroni di conduzione per metro cubo e resistività $ρ = 2, 8 \cdot 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ . Calcolare, in ciascun tratto, la densità di corrente, la velocità di deriva e il campo elettrico.

I_{1} = I_{2} = I, J_{k} = \frac{4 I}{π d _{k}^{2}}, v_{d, k} = \frac{J _{k}}{n e}, E_{k} = ρ J_{k}

J_{1} J_{2} v_{d, 1} E_{1} = \frac{4 \cdot 3 , 0}{π \cdot ( 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} A/ m^{2} \approx 9, 5 \cdot 1 0^{5} A/ m^{2} = 4 J_{1} \approx 3, 8 \cdot 1 0^{6} A/ m^{2} = \frac{9 , 55 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 8 \cdot 1 0 ^{29} \cdot 1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} m/s \approx 3, 3 \cdot 1 0^{- 5} m/s, v_{d, 2} = 4 v_{d, 1} \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 4} m/s = 2, 8 \cdot 1 0^{- 8} \cdot 9, 55 \cdot 1 0^{5} V/m \approx 2, 7 \cdot 1 0^{- 2} V/m, E_{2} = 4 E_{1} \approx 0, 11 V/m

La corrente è stazionaria e il filo non ha diramazioni, quindi per la conservazione della carica la corrente è la stessa nei due tratti. L’area della sezione è proporzionale al quadrato del diametro; poiché il diametro si dimezza, l’area diventa un quarto e la densità di corrente quadruplica. La velocità di deriva è proporzionale a $J$ , perché $n$ ed $e$ sono gli stessi nei due tratti, e quadruplica anch’essa: gli elettroni accelerano entrando nel tratto stretto.

Il campo elettrico si ricava dalla legge di Ohm in forma locale, $E = ρ J$ , e nel tratto stretto è quattro volte più intenso. In quel tratto la tensione per unità di lunghezza è maggiore, e un tratto di filo sottile ha resistenza maggiore di un tratto di filo spesso della stessa lunghezza.