Esercizi svolti · Scheda 2

Condensatori piani

Teoria usata: Condensatore Condensatore piano Capacità di un conduttore isolato Come si calcola una capacità

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Esercizio 1

Un condensatore piano ha armature quadrate di lato $ℓ = 20 cm$ a distanza $d = 1, 0 mm$ , nel vuoto, ed è collegato a un generatore che mantiene la differenza di potenziale $Δ V = 50 V$ . Calcolare la capacità, la carica sulle armature, la densità superficiale di carica e il campo elettrico tra le armature.

C = \frac{ε _{0} A}{d}, A = ℓ^{2}, Q = C Δ V, σ = \frac{Q}{A}, E = \frac{Δ V}{d}

C Q σ E = \frac{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 0 , 040}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} F \approx 3, 5 \cdot 1 0^{- 10} F = 354 pF = 3, 54 \cdot 1 0^{- 10} \cdot 50 C \approx 1, 8 \cdot 1 0^{- 8} C = 18 nC = \frac{1 , 77 \cdot 1 0 ^{- 8}}{0 , 040} C/ m^{2} \approx 4, 4 \cdot 1 0^{- 7} C/ m^{2} = \frac{50}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} V/m = 5, 0 \cdot 1 0^{4} V/m

La distanza tra le armature è molto minore del lato, quindi gli effetti di bordo sono trascurabili e si applica la formula del condensatore piano, con l’area $A = 0, 2 0^{2} m^{2} = 0, 040 m^{2}$ . Il generatore fissa la differenza di potenziale, perciò la carica segue dalla definizione di capacità, $Q = C Δ V$ . La densità è la carica divisa per l’area, perché le cariche sono distribuite uniformemente sulle facce affacciate.

Il campo tra le armature è uniforme, quindi è il rapporto tra la differenza di potenziale e la distanza. Come controllo, il teorema di Coulomb dà $E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{4 , 43 \cdot 1 0 ^{- 7}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} V/m = 5, 0 \cdot 1 0^{4} V/m$ , lo stesso valore.

Esercizio 2

Si vuole costruire un condensatore piano nel vuoto di capacità $C = 1, 0 μ F$ , con le armature a distanza $d = 0, 10 mm$ . Calcolare l’area delle armature e il lato di armature quadrate. Calcolare inoltre la carica e il campo tra le armature quando il condensatore è collegato a $12 V$ .

C = \frac{ε _{0} A}{d} ⟹ A = \frac{C d}{ε _{0}}, ℓ = A

A ℓ Q E = \frac{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 4}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} m^{2} \approx 11 m^{2} = 11, 3 m \approx 3, 4 m = C Δ V = 1, 0 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 12 C = 12 μ C = \frac{Δ V}{d} = \frac{12}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 4}} V/m = 1, 2 \cdot 1 0^{5} V/m

Si ricava l’area dalla formula del condensatore piano, poiché capacità e distanza sono date. Servono circa $11 m^{2}$ , cioè due fogli quadrati di più di tre metri di lato tenuti a un decimo di millimetro l’uno dall’altro. Il risultato mostra che il microfarad è una capacità grande per un condensatore nel vuoto; nei condensatori reali le armature sono strisce sottili avvolte e separate da un dielettrico, che moltiplica la capacità per $ε_{r}$ .

La carica e il campo seguono dalla definizione di capacità e dall’uniformità del campo. Il campo, $1, 2 \cdot 1 0^{5} V/m$ , è minore della rigidità dielettrica dell’aria, circa $3 \cdot 1 0^{6} V/m$ , quindi la tensione di $12 V$ si può applicare anche con aria tra le armature.

Esercizio 3

Un condensatore piano con armature di area $A = 0, 020 m^{2}$ a distanza $d_{1} = 2, 0 mm$ viene caricato collegandolo a un generatore da $Δ V_{1} = 100 V$ . Le armature vengono poi portate alla distanza $d_{2} = 5, 0 mm$ . Calcolare capacità, carica, differenza di potenziale e campo dopo lo spostamento in due casi: (a) il condensatore viene staccato dal generatore prima dello spostamento; (b) il condensatore resta collegato al generatore.

C_{1} = \frac{ε _{0} A}{d _{1}}, C_{2} = \frac{ε _{0} A}{d _{2}} = \frac{d _{1}}{d _{2}} C_{1}, Q_{1} = C_{1} Δ V_{1}

(a) Q_{2} = Q_{1}, Δ V_{2} = \frac{Q _{1}}{C _{2}} = \frac{d _{2}}{d _{1}} Δ V_{1}, E_{2} = \frac{Δ V _{2}}{d _{2}} = \frac{Δ V _{1}}{d _{1}}

(b) Δ V_{2} = Δ V_{1}, Q_{2} = C_{2} Δ V_{1} = \frac{d _{1}}{d _{2}} Q_{1}, E_{2} = \frac{Δ V _{1}}{d _{2}}

C_{1} Q_{1} (a) Δ V_{2} (b) Q_{2} = \frac{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 0 , 020}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} F = 88, 5 pF, C_{2} = \frac{2 , 0}{5 , 0} \cdot 88, 5 pF = 35, 4 pF = 88, 5 \cdot 1 0^{- 12} \cdot 100 C \approx 8, 9 nC = \frac{5 , 0}{2 , 0} \cdot 100 V = 250 V, E_{2} = \frac{100}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} V/m = 5, 0 \cdot 1 0^{4} V/m = \frac{2 , 0}{5 , 0} \cdot 8, 85 nC \approx 3, 5 nC, E_{2} = \frac{100}{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} V/m = 2, 0 \cdot 1 0^{4} V/m

In entrambi i casi la capacità dipende solo dalla geometria, quindi passa da $88, 5 pF$ a $35, 4 pF$ , cioè si riduce nel rapporto $\frac{d _{1}}{d _{2}}$ . Il problema si risolve individuando la grandezza che resta costante.

Nel caso (a) il condensatore è isolato, perciò la carica si conserva. La differenza di potenziale $\frac{Q}{C}$ cresce nello stesso rapporto in cui la capacità diminuisce, e diventa $250 V$ . Il campo non cambia, perché dipende solo dalla densità di carica, $E = \frac{σ}{ε _{0}}$ , che resta la stessa.

Nel caso (b) il generatore mantiene $100 V$ , quindi la carica scende a $C_{2} Δ V_{1} \approx 3, 5 nC$ ; il generatore riassorbe la carica in eccesso. Il campo, uguale a $\frac{Δ V}{d}$ , diminuisce a $2, 0 \cdot 1 0^{4} V/m$ .