Esercizi svolti · Scheda 1

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Teoria usata: Campo elettrico all'interno di un conduttore Carica sulla superficie di un conduttore Conduttore equipotenziale Teorema di Coulomb Potere delle punte Cavità in un conduttore e schermo elettrostatico Capacità di una sfera conduttrice

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Esercizio 1

Una sfera conduttrice isolata di raggio $R = 10 cm$ porta la carica $Q = 20 nC$ . Calcolare la densità superficiale di carica, il campo elettrico al centro della sfera e nei punti immediatamente esterni alla superficie, e il potenziale della sfera, con il riferimento all’infinito.

σ = \frac{Q}{4 π R ^{2}}, E_{centro} = 0, E_{sup} = \frac{σ}{ε _{0}}, V = \frac{k Q}{R}

σ E_{sup} V = \frac{20 \cdot 1 0 ^{- 9}}{4 π \cdot 0 , 1 0 ^{2}} C/ m^{2} \approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 7} C/ m^{2} = \frac{1 , 59 \cdot 1 0 ^{- 7}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} V/m \approx 1, 8 \cdot 1 0^{4} V/m = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 20 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 10} V \approx 1, 8 \cdot 1 0^{3} V

La sfera è in equilibrio, quindi per il teorema sulla carica sulla superficie tutta la carica sta sulla superficie e, per la simmetria della sfera isolata, vi è distribuita uniformemente; la densità si ottiene dividendo la carica per l’area $4 π R^{2}$ . Il centro è un punto interno al materiale, perciò il campo vi è nullo.

Nei punti appena fuori dalla superficie si applica il teorema di Coulomb, $E = \frac{σ}{ε _{0}}$ , con il campo diretto radialmente verso l’esterno perché $σ > 0$ . Il risultato coincide con il campo di una carica puntiforme $Q$ posta nel centro, $\frac{k Q}{R ^{2}} \approx 1, 8 \cdot 1 0^{4} V/m$ , come deve essere per la legge di Gauss. Il conduttore è equipotenziale, e il suo potenziale è quello della superficie, $\frac{k Q}{R}$ .

Esercizio 2

Due sfere conduttrici di raggi $R_{1} = 2, 0 cm$ e $R_{2} = 6, 0 cm$ , molto lontane fra loro, sono collegate da un filo conduttore sottile. Il sistema porta la carica totale $Q = 40 nC$ . Calcolare la carica e la densità superficiale di ciascuna sfera, il campo sulle due superfici e il potenziale comune.

Due sfere collegate da un filo, in un disegno non in scala: all'equilibrio hanno lo stesso potenziale, e la sfera piccola ha meno carica ma densità superficiale maggiore

⎩ ⎨ ⎧ Q_{1} + Q_{2} = Q \frac{k Q _{1}}{R _{1}} = \frac{k Q _{2}}{R _{2}} ⟹ Q_{1} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} Q, Q_{2} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} Q

Q_{1} σ_{1} σ_{2} E_{1} V = \frac{2 , 0}{8 , 0} \cdot 40 nC = 10 nC, Q_{2} = 30 nC = \frac{Q _{1}}{4 π R _{1}^{2}} = \frac{10 \cdot 1 0 ^{- 9}}{4 π \cdot 0 , 02 0 ^{2}} C/ m^{2} \approx 2, 0 \cdot 1 0^{- 6} C/ m^{2} = \frac{Q _{2}}{4 π R _{2}^{2}} = \frac{30 \cdot 1 0 ^{- 9}}{4 π \cdot 0 , 06 0 ^{2}} C/ m^{2} \approx 6, 6 \cdot 1 0^{- 7} C/ m^{2} = \frac{σ _{1}}{ε _{0}} \approx 2, 2 \cdot 1 0^{5} V/m, E_{2} = \frac{σ _{2}}{ε _{0}} \approx 7, 5 \cdot 1 0^{4} V/m = \frac{k Q _{1}}{R _{1}} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 10 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 020} V \approx 4, 5 \cdot 1 0^{3} V

Le due sfere e il filo formano un unico conduttore, quindi per il teorema sul conduttore equipotenziale le sfere hanno lo stesso potenziale. Le sfere sono molto lontane, perciò il potenziale di ciascuna è quello di una sfera isolata con la propria carica, $\frac{k Q _{i}}{R _{i}}$ ; il filo è sottile e la sua carica è trascurabile, quindi la carica totale si divide fra le due sfere. Le due condizioni, da soddisfare insieme, formano il sistema, che dà cariche proporzionali ai raggi.

La sfera grande porta una carica tripla, mentre la sua densità è un terzo di quella della sfera piccola, perché l’area cresce con il quadrato del raggio. Il rapporto $\frac{σ _{1}}{σ _{2}} = 3 = \frac{R _{2}}{R _{1}}$ è il potere delle punte, e per il teorema di Coulomb anche il campo sulla sfera piccola è triplo. Come controllo, $\frac{k Q _{2}}{R _{2}} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 30 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 060} V \approx 4, 5 \cdot 1 0^{3} V$ , lo stesso potenziale.

Esercizio 3

Un guscio sferico conduttore ha raggio interno $a = 4, 0 cm$ , raggio esterno $b = 5, 0 cm$ e carica netta $Q_{g} = 6, 0 nC$ . Nel centro della cavità si trova una carica puntiforme $q = - 2, 0 nC$ . Calcolare le cariche e le densità superficiali sulle superfici interna ed esterna del guscio, e il campo elettrico a distanza $r_{1} = 2, 0 cm$ , $r_{2} = 4, 5 cm$ e $r_{3} = 8, 0 cm$ dal centro.

Guscio conduttore con la carica

q < 0

nel centro: sulla superficie interna si induce

- q > 0

, su quella esterna resta

Q_{g} + q

; il campo è radiale, entrante nella cavità e uscente all'esterno

Q_{int} = - q, Q_{est} = Q_{g} + q, σ_{int} = \frac{- q}{4 π a ^{2}}, σ_{est} = \frac{Q _{g} + q}{4 π b ^{2}}

E (r) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}}, 0, \frac{k ( Q _{g} + q )}{r ^{2}}, r < a a < r < b r > b

Q_{int} σ_{int} σ_{est} E (r_{1}) E (r_{2}) E (r_{3}) = 2, 0 nC, Q_{est} = (6, 0 - 2, 0) nC = 4, 0 nC = \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{4 π \cdot 0 , 04 0 ^{2}} C/ m^{2} \approx 9, 9 \cdot 1 0^{- 8} C/ m^{2} = \frac{4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{4 π \cdot 0 , 05 0 ^{2}} C/ m^{2} \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 7} C/ m^{2} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 02 0 ^{2}} V/m \approx 4, 5 \cdot 1 0^{4} V/m = 0 = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 08 0 ^{2}} V/m \approx 5, 6 \cdot 1 0^{3} V/m

Una superficie sferica di raggio compreso fra $a$ e $b$ giace nel materiale del guscio, dove il campo è nullo, quindi per la legge di Gauss racchiude carica totale nulla. Essa contiene la carica $q$ e la carica della superficie interna, perciò $Q_{int} = - q = + 2, 0 nC$ , come prevede il risultato sulla cavità in un conduttore. La carica netta del guscio si conserva, quindi sulla superficie esterna resta $Q_{g} - Q_{int} = Q_{g} + q$ . La carica $q$ è nel centro, perciò per simmetria entrambe le distribuzioni sono uniformi.

Il campo è radiale. Per $r < a$ la sfera di Gauss racchiude solo $q$ , che è negativa, quindi il campo vale $\frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}}$ ed è diretto verso il centro. Il punto a $4, 5 cm$ è nel materiale del guscio, dove il campo è nullo. Per $r > b$ la carica racchiusa è $q + Q_{int} + Q_{est} = Q_{g} + q = 4, 0 nC$ , quindi il campo è quello di una carica puntiforme positiva di $4, 0 nC$ posta nel centro, diretto verso l’esterno.