Esercizi svolti · Scheda 3

Condensatori in serie e in parallelo

Teoria usata: Condensatori in parallelo Condensatori in serie Condensatore

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Esercizio 1

Due condensatori di capacità $C_{1} = 2, 0 μ F$ e $C_{2} = 3, 0 μ F$ , inizialmente scarichi, vengono collegati a un generatore da $Δ V = 12 V$ , prima in parallelo e poi, dopo averli scaricati, in serie. In entrambi i casi calcolare la capacità equivalente, la carica e la differenza di potenziale di ciascun condensatore.

parallelo: C_{eq} = C_{1} + C_{2}, Δ V_{1} = Δ V_{2} = Δ V, Q_{i} = C_{i} Δ V

serie: C_{eq} = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}, Q_{1} = Q_{2} = C_{eq} Δ V, Δ V_{i} = \frac{Q _{1}}{C _{i}}

parallelo: C_{eq} serie: C_{eq} Δ V_{1} = 5, 0 μ F, Q_{1} = 2, 0 \cdot 12 μ C = 24 μ C, Q_{2} = 3, 0 \cdot 12 μ C = 36 μ C = \frac{2 , 0 \cdot 3 , 0}{5 , 0} μ F = 1, 2 μ F, Q_{1} = Q_{2} = 1, 2 \cdot 12 μ C \approx 14 μ C = \frac{14 , 4}{2 , 0} V = 7, 2 V, Δ V_{2} = \frac{14 , 4}{3 , 0} V = 4, 8 V

In parallelo le armature collegate a uno stesso filo sono allo stesso potenziale, quindi entrambi i condensatori hanno la differenza di potenziale del generatore, e per il teorema sui condensatori in parallelo le capacità si sommano. La carica di ciascuno è proporzionale alla sua capacità, e la carica totale $60 μ C$ è uguale a $C_{eq} Δ V$ .

In serie le armature interne formano un conduttore isolato e neutro, perciò i due condensatori hanno la stessa carica, e per il teorema sui condensatori in serie si sommano gli inversi delle capacità. La capacità equivalente, $1, 2 μ F$ , è minore di entrambe. Il condensatore di capacità minore ha la tensione maggiore, e le due tensioni sommate danno $12 V$ , come richiesto dalla somma delle differenze di potenziale lungo la serie.

Esercizio 2

Nella rete della figura $C_{1} = 4, 0 μ F$ è collegato in serie al parallelo di $C_{2} = 2, 0 μ F$ e $C_{3} = 6, 0 μ F$ , e la rete è collegata a un generatore da $Δ V = 24 V$ . I condensatori sono inizialmente scarichi. Calcolare la capacità equivalente, la carica e la differenza di potenziale di ciascun condensatore.

Rete di condensatori:

C_{1}

è in serie con il parallelo di

C_{2}

C_{3}

C_{23} = C_{2} + C_{3}, C_{eq} = \frac{C _{1} C _{23}}{C _{1} + C _{23}}, Q_{1} = C_{eq} Δ V

Δ V_{1} = \frac{Q _{1}}{C _{1}}, Δ V_{23} = \frac{Q _{1}}{C _{23}}, Q_{2} = C_{2} Δ V_{23}, Q_{3} = C_{3} Δ V_{23}

C_{23} C_{eq} Q_{1} Δ V_{1} Q_{2} = (2, 0 + 6, 0) μ F = 8, 0 μ F = \frac{4 , 0 \cdot 8 , 0}{12} μ F \approx 2, 7 μ F = \frac{8}{3} \cdot 24 μ C = 64 μ C = \frac{64}{4 , 0} V = 16 V, Δ V_{23} = \frac{64}{8 , 0} V = 8, 0 V = 2, 0 \cdot 8, 0 μ C = 16 μ C, Q_{3} = 6, 0 \cdot 8, 0 μ C = 48 μ C

$C_{2}$ e $C_{3}$ hanno le armature collegate agli stessi due nodi, quindi sono in parallelo e si sostituiscono con $C_{23} = 8, 0 μ F$ . Questo condensatore equivalente è in serie con $C_{1}$ , perché fra i due c’è un solo filo, che non porta ad altri componenti; la capacità della rete è perciò $\frac{8}{3} μ F$ .

Si ripercorre poi la rete a ritroso. La carica fornita dal generatore è quella del condensatore equivalente, e per la serie è anche la carica di $C_{1}$ e del parallelo. Dalla carica si ricavano le tensioni, che sommate danno $24 V$ . Infine $C_{2}$ e $C_{3}$ hanno la stessa tensione $8, 0 V$ , e le loro cariche, $16 μ C$ e $48 μ C$ , sommate danno di nuovo $64 μ C$ , come controllo.

Esercizio 3

Due condensatori di capacità $C_{1} = 1, 0 μ F$ e $C_{2} = 2, 0 μ F$ sopportano ciascuno una differenza di potenziale massima di $100 V$ . Calcolare la massima differenza di potenziale che si può applicare ai due condensatori collegati in serie, e quella che si può applicare al loro collegamento in parallelo.

Q_{1} = Q_{2} = Q, Δ V_{1} = \frac{Q}{C _{1}}, Δ V_{2} = \frac{Q}{C _{2}} = \frac{C _{1}}{C _{2}} Δ V_{1}

Δ V_{1} Δ V_{2} Δ V_{m a x}^{serie} = 100 V ⟹ Q = C_{1} \cdot 100 V = 100 μ C = \frac{100}{2 , 0} V = 50 V = Δ V_{1} + Δ V_{2} = 150 V, Δ V_{m a x}^{parallelo} = 100 V

In serie i due condensatori hanno la stessa carica, quindi la tensione maggiore spetta al condensatore di capacità minore, $C_{1}$ , e a ogni istante $Δ V_{1} = 2 Δ V_{2}$ . Aumentando la tensione applicata, il primo condensatore a raggiungere il limite è perciò $C_{1}$ , e questo avviene con la carica $Q = 100 μ C$ , quando $C_{2}$ è a $50 V$ . La massima tensione applicabile alla serie è la somma, $150 V$ ; come controllo, $C_{eq} = \frac{2}{3} μ F$ e $C_{eq} \cdot 150 V = 100 μ C$ .

Il risultato è minore di $200 V$ , la somma delle tensioni massime, perché le tensioni si ripartiscono in modo diseguale. In parallelo entrambi i condensatori hanno la tensione applicata, quindi il limite è $100 V$ .