Esercizi svolti · Scheda 2

Resistori, condensatori e induttori in corrente alternata

Teoria usata: Tensione e corrente alternata Valore efficace Valore efficace di una grandezza sinusoidale Resistore in alternata Condensatore in alternata Induttore in alternata Reattanze e frequenza

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Esercizio 1

Una stufetta elettrica, assimilabile a un resistore, assorbe la potenza media $P = 1, 0 kW$ quando è collegata alla rete, con tensione efficace $V_{eff} = 230 V$ e frequenza $f = 50 Hz$ . Calcolare la resistenza, la corrente efficace, l’ampiezza della corrente e il valore massimo della potenza istantanea, e scrivere l’espressione di $i (t)$ prendendo $v (t) = V_{0} sin (ω t)$ .

P = \frac{V _{eff}^{2}}{R} ⟹ R = \frac{V _{eff}^{2}}{P}, I_{eff} = \frac{V _{eff}}{R}, I_{0} = 2 I_{eff}, p_{m a x} = V_{0} I_{0} = 2 V_{eff} I_{eff} = 2 P

R I_{eff} I_{0} p_{m a x} i (t) = \frac{23 0 ^{2}}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{3}} Ω \approx 52, 9 Ω \approx 53 Ω = \frac{230}{52 , 9} A \approx 4, 3 A = 2 \cdot 4, 35 A \approx 6, 1 A = 2 \cdot 1, 0 kW = 2, 0 kW \approx 6, 1 sin (314 t) A, t in secondi

Per un resistore la potenza media è $R I_{eff}^{2}$ , per la definizione di valore efficace, e poiché $I_{eff} = \frac{V _{eff}}{R}$ si può scrivere anche $\frac{V _{eff}^{2}}{R}$ ; da qui si ricava $R$ . L’ampiezza della corrente è $2$ volte il valore efficace, per il teorema sul valore efficace di una grandezza sinusoidale.

Nel resistore la corrente è in fase con la tensione, quindi la potenza istantanea $p = V_{0} I_{0} sin^{2} (ω t)$ oscilla tra $0$ e $V_{0} I_{0}$ . Il valore massimo è $V_{0} I_{0} = 2 V_{eff} \cdot 2 I_{eff} = 2 P$ , cioè il doppio della potenza media. La pulsazione è $ω = 2 π \cdot 50 rad/s \approx 314 rad/s$ , e la fase della corrente è la stessa della tensione.

Esercizio 2

Un condensatore di capacità $C = 15 μ F$ è collegato alla rete, con $V_{eff} = 230 V$ e $f = 50 Hz$ . Calcolare la reattanza capacitiva, la corrente efficace e l’espressione di $i (t)$ prendendo $v (t) = V_{0} sin (ω t)$ . Calcolare poi la corrente efficace se la frequenza raddoppia, a parità di tensione efficace.

X_{C} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{2 π f C}, I_{eff} = \frac{V _{eff}}{X _{C}} = 2 π f C V_{eff}, i (t) = \frac{V _{0}}{X _{C}} sin (ω t + \frac{π}{2})

X_{C} I_{eff} I_{0} i (t) I_{eff}^{'} = \frac{1}{2 π \cdot 50 \cdot 15 \cdot 1 0 ^{- 6}} Ω \approx 212 Ω = \frac{230}{212} A \approx 1, 08 A = 2 \cdot 1, 08 A \approx 1, 53 A \approx 1, 53 sin (314 t + \frac{π}{2}) A = 2 I_{eff} \approx 2, 17 A

Per il teorema sul condensatore in alternata le ampiezze della tensione e della corrente sono legate da $V_{0} = X_{C} I_{0}$ , e dividendo per $2$ la stessa relazione vale tra i valori efficaci. La corrente è in anticipo di $\frac{π}{2}$ sulla tensione, quindi la sua fase è $+ \frac{π}{2}$ .

La corrente efficace è proporzionale alla frequenza, perché $X_{C}$ è inversamente proporzionale a $f$ . Raddoppiando la frequenza la reattanza si dimezza, a circa $106 Ω$ , e la corrente efficace raddoppia, a circa $2, 2 A$ . In corrente continua, nel limite $f \to 0$ , la reattanza tende all’infinito e a regime la corrente è nulla.

Esercizio 3

Una bobina di resistenza trascurabile, collegata a un generatore con $V_{eff} = 24 V$ e $f = 50 Hz$ , è percorsa dalla corrente efficace $I_{eff} = 0, 40 A$ . Calcolare la reattanza e l’induttanza della bobina, scrivere $i (t)$ prendendo $v (t) = V_{0} sin (ω t)$ , e calcolare la corrente efficace se la frequenza del generatore diventa $200 Hz$ a parità di tensione efficace.

X_{L} = \frac{V _{eff}}{I _{eff}}, L = \frac{X _{L}}{2 π f}, i (t) = 2 I_{eff} sin (ω t - \frac{π}{2}), I_{eff}^{'} = \frac{V _{eff}}{2 π f ^{'} L} = I_{eff} \frac{f}{f ^{'}}

X_{L} L i (t) I_{eff}^{'} = \frac{24}{0 , 40} Ω = 60 Ω = \frac{60}{2 π \cdot 50} H \approx 0, 19 H \approx 0, 57 sin (314 t - \frac{π}{2}) A = 0, 40 \cdot \frac{50}{200} A = 0, 10 A

La bobina ha resistenza trascurabile, quindi è un induttore ideale e per il teorema sull’induttore in alternata il rapporto tra i valori efficaci di tensione e corrente è la reattanza induttiva $X_{L} = ω L$ . Da $X_{L}$ si ricava $L$ dividendo per la pulsazione $2 π f$ . La corrente è in ritardo di $\frac{π}{2}$ sulla tensione, e la sua ampiezza è $2 \cdot 0, 40 A \approx 0, 57 A$ .

A frequenza quadrupla la reattanza induttiva diventa quattro volte maggiore, $240 Ω$ , perché è proporzionale a $f$ ; a parità di tensione la corrente efficace diventa perciò un quarto di quella iniziale. Il comportamento è opposto a quello del condensatore, la cui corrente cresce con la frequenza.