Esercizi svolti · Scheda 1

Oscillazioni libere nei circuiti LC

Teoria usata: Oscillazioni del circuito LC Conservazione dell'energia nel circuito LC Analogia con l'oscillatore massa-molla

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Un circuito oscillante è formato da un induttore di induttanza $L = 25 mH$ e da un condensatore di capacità $C = 4, 0 μ F$ , collegati con fili di resistenza trascurabile. Calcolare la pulsazione propria, la frequenza e il periodo delle oscillazioni.

ω_{0} = \frac{1}{L C}, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π}, T = \frac{1}{f _{0}} = 2 π L C

L C ω_{0} f_{0} T = 25 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 4, 0 \cdot 1 0^{- 6} s^{2} = 1, 0 \cdot 1 0^{- 7} s^{2} = \frac{1}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 7}} rad/s \approx 3162 rad/s \approx 3, 2 \cdot 1 0^{3} rad/s = \frac{3162}{2 π} Hz \approx 503 Hz \approx 5, 0 \cdot 1 0^{2} Hz = \frac{1}{503} s \approx 2, 0 \cdot 1 0^{- 3} s = 2, 0 ms

La resistenza del circuito è trascurabile, quindi si applica il teorema sulle oscillazioni del circuito LC, per il quale la carica del condensatore oscilla di moto armonico con pulsazione $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ . Frequenza e periodo seguono dalle relazioni $f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π}$ e $T = \frac{1}{f _{0}}$ . Il prodotto $L C$ si misura in $s^{2}$ , perché $1 H = 1 V \cdot s/A$ e $1 F = 1 A \cdot s/V$ ; perciò $\frac{1}{L C}$ è l’inverso di un tempo, come deve essere una pulsazione. I dati hanno due cifre significative, e così i risultati.

Esercizio 2

Un condensatore di capacità $C = 2, 0 μ F$ è caricato con la differenza di potenziale $Δ V = 12 V$ e all’istante $t = 0$ viene collegato a un induttore di induttanza $L = 50 mH$ , chiudendo un interruttore. La resistenza del circuito è trascurabile. Calcolare la carica iniziale, l’energia del circuito, la corrente massima e il primo istante in cui la corrente raggiunge il valore massimo.

Il condensatore carico con

Q_{0} = C Δ V

si collega all'induttore chiudendo l'interruttore all'istante

t = 0

Q_{0} = C Δ V, U = \frac{Q _{0}^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C Δ V^{2}, \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = U ⟹ I_{0} = \frac{Q _{0}}{L C}, t_{1} = \frac{T}{4} = \frac{π}{2} L C

Q_{0} U L C I_{0} t_{1} = 2, 0 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 12 C = 2, 4 \cdot 1 0^{- 5} C = 24 μ C = \frac{1}{2} \cdot 2, 0 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 2^{2} J = 1, 44 \cdot 1 0^{- 4} J \approx 0, 14 mJ = 50 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 2, 0 \cdot 1 0^{- 6} s = 1, 0 \cdot 1 0^{- 7} s \approx 3, 16 \cdot 1 0^{- 4} s = \frac{2 , 4 \cdot 1 0 ^{- 5}}{3 , 16 \cdot 1 0 ^{- 4}} A \approx 0, 076 A = 76 mA = \frac{π}{2} \cdot 3, 16 \cdot 1 0^{- 4} s \approx 5, 0 \cdot 1 0^{- 4} s = 0, 50 ms

La carica iniziale segue dalla definizione di capacità, e l’energia iniziale è tutta nel campo elettrico del condensatore, perché all’istante della chiusura la corrente è nulla. La resistenza è trascurabile, quindi per la conservazione dell’energia nel circuito LC l’energia resta $U$ in ogni istante. Quando il condensatore è scarico tutta l’energia è nell’induttore e la corrente è massima; uguagliando $\frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ a $U$ si ricava $I_{0}$ , che coincide con $ω_{0} Q_{0}$ . Per controllo, $\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 0, 075 9^{2} J \approx 1, 44 \cdot 1 0^{- 4} J$ .

La carica è $q (t) = Q_{0} cos (ω_{0} t)$ e la corrente $i (t) = - ω_{0} Q_{0} sin (ω_{0} t)$ è massima in modulo quando $sin (ω_{0} t) = \pm 1$ . Il primo istante positivo è $ω_{0} t_{1} = \frac{π}{2}$ , cioè un quarto di periodo dopo la chiusura dell’interruttore, e vale circa $0, 50 ms$ .

Esercizio 3

In un circuito $L C$ ideale con $L = 90 mH$ e $C = 10 μ F$ il condensatore ha all’istante $t = 0$ la carica $Q_{0} = 50 μ C$ e la corrente è nulla. Determinare il primo istante in cui l’energia è ripartita in parti uguali tra condensatore e induttore, e calcolare in quell’istante la carica del condensatore e l’intensità della corrente.

\frac{q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q _{0}^{2}}{2 C} ⟹ ∣ q ∣ = \frac{Q _{0}}{2}, \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} L I_{0}^{2} ⟹ ∣ i ∣ = \frac{I _{0}}{2} = \frac{ω _{0} Q _{0}}{2}

Q_{0} cos (ω_{0} t) = \frac{Q _{0}}{2} ⟹ ω_{0} t = \frac{π}{4} ⟹ t = \frac{π}{4 ω _{0}} = \frac{π}{4} L C

ω_{0} t q ∣ i ∣ = \frac{1}{90 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 10 \cdot 1 0 ^{- 6}} rad/s = \frac{1}{9 , 0 \cdot 1 0 ^{- 7}} rad/s \approx 1054 rad/s = \frac{π}{4 \cdot 1054} s \approx 7, 5 \cdot 1 0^{- 4} s = 0, 75 ms = \frac{50}{2} μ C \approx 35 μ C = \frac{1054 \cdot 50 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2} A \approx 0, 037 A = 37 mA

Per la conservazione dell’energia nel circuito LC l’energia totale è sempre $\frac{Q _{0}^{2}}{2 C}$ . Il condensatore ne possiede metà quando $q^{2} = \frac{Q _{0}^{2}}{2}$ ; in quell’istante l’altra metà è nell’induttore, quindi $i^{2} = \frac{I _{0}^{2}}{2}$ , con $I_{0} = ω_{0} Q_{0}$ ampiezza della corrente.

Le condizioni iniziali sono quelle del teorema sulle oscillazioni del circuito $L C$ , perciò $q (t) = Q_{0} cos (ω_{0} t)$ . La carica scende per la prima volta a $\frac{Q _{0}}{2}$ quando $cos (ω_{0} t) = \frac{2}{2}$ con $ω_{0} t$ nel primo quadrante, cioè per $ω_{0} t = \frac{π}{4}$ , dopo un ottavo di periodo. Il risultato non dipende da $Q_{0}$ , perché la ripartizione dell’energia dipende solo dalla fase dell’oscillazione. Nell’analogia con l’oscillatore massa-molla è l’istante in cui energia cinetica ed energia potenziale elastica sono uguali.