Esercizi svolti · Scheda 3

Impedenza e sfasamento nei circuiti in serie

Teoria usata: Impedenza del circuito RLC in serie Impedenza complessa Fasore Circuito induttivo e circuito capacitivo tensioni sfasate Resistore in alternata

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Esercizio 1

Una bobina reale, collegata a una tensione continua di $12 V$ , è percorsa a regime dalla corrente $0, 50 A$ . Collegata a una tensione alternata di valore efficace $12 V$ e frequenza $50 Hz$ , è percorsa dalla corrente efficace $0, 30 A$ . Calcolare la resistenza, l’induttanza della bobina e lo sfasamento tra tensione e corrente in alternata.

R = \frac{V}{I}, Z = \frac{V _{eff}}{I _{eff}} = R^{2} + X_{L}^{2} ⟹ X_{L} = Z^{2} - R^{2}, L = \frac{X _{L}}{2 π f}, tan φ = \frac{X _{L}}{R}

R Z X_{L} L φ = \frac{12}{0 , 50} Ω = 24 Ω = \frac{12}{0 , 30} Ω = 40 Ω = 4 0^{2} - 2 4^{2} Ω = 32 Ω = \frac{32}{2 π \cdot 50} H \approx 0, 10 H = arctan \frac{32}{24} \approx 5 3^{\circ}

Una bobina reale si schematizza come un resistore $R$ , la resistenza del filo, in serie con un induttore ideale $L$ . In corrente continua a regime la corrente è costante, quindi la tensione ai capi dell’induttore $L \frac{d i}{d t}$ è nulla e la bobina si riduce al resistore; per la legge di Ohm si ricava $R$ .

In alternata si applica il teorema sull’impedenza del circuito RLC in serie con $X_{C} = 0$ , cioè a un circuito $R L$ . Il rapporto tra i valori efficaci dà l’impedenza, e l’impedenza è l’ipotenusa del triangolo rettangolo di cateti $R$ e $X_{L}$ ; perciò $X_{L} = Z^{2} - R^{2}$ , e dividendo per la pulsazione si ottiene $L$ . Lo sfasamento è positivo, quindi la corrente è in ritardo di circa $5 3^{\circ}$ sulla tensione, come in ogni circuito induttivo.

Esercizio 2

Un resistore di resistenza $R = 100 Ω$ e un condensatore di capacità $C = 20 μ F$ sono collegati in serie alla rete, con $V_{eff} = 230 V$ e $f = 50 Hz$ . Calcolare l’impedenza, la corrente efficace, lo sfasamento e le tensioni efficaci ai capi dei due componenti.

X_{C} = \frac{1}{2 π f C}, Z = R^{2} + X_{C}^{2}, I_{eff} = \frac{V _{eff}}{Z}, tan φ = - \frac{X _{C}}{R}, V_{R} = R I_{eff}, V_{C} = X_{C} I_{eff}

X_{C} Z I_{eff} φ V_{R} = \frac{1}{2 π \cdot 50 \cdot 20 \cdot 1 0 ^{- 6}} Ω \approx 159 Ω = 10 0^{2} + 15 9^{2} Ω \approx 188 Ω = \frac{230}{188} A \approx 1, 22 A = - arctan \frac{159}{100} \approx - 5 8^{\circ} = 100 \cdot 1, 22 V \approx 122 V, V_{C} = 159 \cdot 1, 22 V \approx 195 V

Il circuito è un circuito $R L C$ in serie senza induttore, quindi nel teorema sull’impedenza del circuito RLC in serie si pone $X_{L} = 0$ . Lo sfasamento $φ$ è negativo, perciò la corrente è in anticipo di circa $5 8^{\circ}$ sulla tensione del generatore e il circuito è capacitivo.

La somma $V_{R} + V_{C} \approx 317 V$ supera la tensione del generatore, e non c’è contraddizione. Le due tensioni sono sfasate di $\frac{π}{2}$ , perché quella sul resistore è in fase con la corrente e quella sul condensatore è in ritardo di $\frac{π}{2}$ ; i loro fasori sono perpendicolari e si sommano come vettori. Infatti $12 2^{2} + 19 5^{2} V \approx 230 V$ , che è la tensione efficace del generatore.

Esercizio 3

Un circuito $R L C$ in serie con $R = 30 Ω$ , $L = 0, 25 H$ e $C = 60 μ F$ è alimentato dalla tensione $v (t) = V_{0} sin (ω t)$ , con $V_{eff} = 120 V$ e $f = 50 Hz$ . Calcolare l’impedenza, la corrente efficace, lo sfasamento, le tensioni efficaci ai capi dei tre componenti e l’espressione di $i (t)$ .

Z = R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}, tan φ = \frac{X _{L} - X _{C}}{R}, i (t) = 2 \frac{V _{eff}}{Z} sin (ω t - φ)

X_{L} X_{C} Z I_{eff} φ V_{R} i (t) = 2 π \cdot 50 \cdot 0, 25 Ω \approx 78, 5 Ω = \frac{1}{2 π \cdot 50 \cdot 60 \cdot 1 0 ^{- 6}} Ω \approx 53, 1 Ω = 3 0^{2} + 25, 5^{2} Ω \approx 39, 4 Ω = \frac{120}{39 , 4} A \approx 3, 05 A = arctan \frac{25 , 5}{30} \approx 0, 70 rad \approx 4 0^{\circ} \approx 91 V, V_{L} \approx 239 V, V_{C} \approx 162 V \approx 4, 3 sin (314 t - 0, 70) A

Fasori delle tensioni efficaci:

V_{R} \approx 91 V

V_{L} \approx 239 V

V_{C} \approx 162 V

; la loro somma vettoriale è la tensione del generatore,

V = 120 V

Si calcolano prima le reattanze alla frequenza del generatore e poi si applica il teorema sull’impedenza del circuito RLC in serie. La reattanza induttiva supera quella capacitiva di $25, 5 Ω$ , quindi lo sfasamento è positivo e la corrente è in ritardo sulla tensione di circa $4 0^{\circ}$ ; il circuito è induttivo. L’ampiezza della corrente è $2 \cdot 3, 05 A \approx 4, 3 A$ .

Le tensioni efficaci sui componenti sono i prodotti della corrente efficace per $R$ , $X_{L}$ e $X_{C}$ . La tensione sull’induttore, circa $239 V$ , è il doppio di quella del generatore. Nel diagramma dei fasori le tensioni sull’induttore e sul condensatore sono opposte e la loro somma ha modulo $V_{L} - V_{C} \approx 78 V$ ; insieme a $V_{R}$ forma il triangolo rettangolo che ha per ipotenusa $9 1^{2} + 7 8^{2} V \approx 120 V$ , la tensione del generatore.