Esercizi svolti · Scheda 2

Cariche dopo il contatto tra sfere conduttrici

Teoria usata: Conservazione della carica Quantizzazione della carica Elettrizzazione per contatto Contatto tra due sfere conduttrici uguali Legge di Coulomb

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Esercizio 1

Due sfere conduttrici identiche $A$ e $B$ hanno cariche $q_{A} = + 8, 0 nC$ e $q_{B} = - 2, 0 nC$ . Le sfere vengono messe a contatto e poi separate. Calcolare la carica finale di ciascuna sfera, stabilire in quale verso si spostano gli elettroni e quanti sono.

q_{A}^{'} = q_{B}^{'} = \frac{q _{A} + q _{B}}{2}, Δ q_{B} = q_{B}^{'} - q_{B}, n = \frac{∣Δ q _{B} ∣}{e}

q_{A}^{'} = q_{B}^{'} Δ q_{B} n = \frac{8 , 0 - 2 , 0}{2} nC = + 3, 0 nC = (3, 0 - (- 2, 0)) nC = + 5, 0 nC = \frac{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 3, 1 \cdot 1 0^{10}

Le sfere sono conduttori identici, quindi dopo il contatto per simmetria hanno la stessa carica, e per la conservazione della carica la somma delle cariche finali è uguale alla somma iniziale $+ 6, 0 nC$ . Ciascuna sfera finisce perciò con $+ 3, 0 nC$ .

Nei conduttori metallici si spostano solo gli elettroni. La carica di $B$ aumenta di $5, 0 nC$ , e una carica che aumenta corrisponde a elettroni che se ne vanno; quindi gli elettroni si spostano dalla sfera $B$ alla sfera $A$ . La carica di $A$ diminuisce della stessa quantità, come deve essere. Il numero di elettroni si ottiene dalla quantizzazione della carica, dividendo la carica trasferita per $e$ .

Esercizio 2

Due sferette conduttrici identiche, con cariche $q_{A} = + 5, 0 μ C$ e $q_{B} = - 1, 0 μ C$ , si trovano nel vuoto a distanza $r = 0, 30 m$ . Le sferette vengono messe a contatto e poi riportate alla stessa distanza. Calcolare la forza tra le sferette prima e dopo il contatto, trattandole come cariche puntiformi.

F = k \frac{∣ q _{A} ∣ ∣ q _{B} ∣}{r ^{2}}, q^{'} = \frac{q _{A} + q _{B}}{2}, F^{'} = k \frac{q ^{'2}}{r ^{2}}

F q^{'} F^{'} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{0 , 3 0 ^{2}} N \approx 0, 50 N = \frac{5 , 0 - 1 , 0}{2} μ C = + 2, 0 μ C = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{( 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} ) ^{2}}{0 , 3 0 ^{2}} N \approx 0, 40 N

Prima del contatto le cariche hanno segno opposto, quindi la forza è attrattiva e il suo modulo si calcola con la legge di Coulomb. Durante il contatto la carica totale $+ 4, 0 μ C$ si conserva e si divide in parti uguali tra le due sfere identiche. Dopo il contatto le sferette hanno la stessa carica positiva, perciò la forza diventa repulsiva.

Il modulo passa da $0, 50 N$ a $0, 40 N$ . Il rapporto tra i due moduli è il rapporto tra i prodotti delle cariche, $\frac{4 , 0}{5 , 0} = 0, 80$ , perché la distanza è la stessa; questo confronto controlla i due calcoli.

Esercizio 3

Tre sfere conduttrici identiche $A$ , $B$ e $C$ sono isolate. All’inizio $A$ ha carica $Q = + 16 nC$ , e $B$ e $C$ sono neutre. Si mette a contatto $A$ con $B$ , poi $A$ con $C$ , infine $B$ con $C$ , separando le sfere dopo ogni contatto. Calcolare le cariche finali e la forza tra $B$ e $C$ quando i loro centri distano $3, 0 cm$ , trattandole come cariche puntiformi.

A con B : A con C : B con C : q_{A} = q_{B} = \frac{16 + 0}{2} nC = 8, 0 nC q_{A} = q_{C} = \frac{8 , 0 + 0}{2} nC = 4, 0 nC q_{B} = q_{C} = \frac{8 , 0 + 4 , 0}{2} nC = 6, 0 nC

F = k \frac{q _{B} q _{C}}{r ^{2}} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{( 6 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9} ) ^{2}}{( 3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 2} ) ^{2}} N \approx 3, 6 \cdot 1 0^{- 4} N

A ogni contatto tra due sfere identiche si applica la regola del contatto tra due sfere conduttrici uguali, secondo la quale ciascuna sfera prende la media delle due cariche che hanno partecipato al contatto. La sfera che non partecipa conserva la propria carica. Le cariche finali sono $q_{A} = 4, 0 nC$ e $q_{B} = q_{C} = 6, 0 nC$ , con somma $16 nC$ , uguale alla carica iniziale, come richiede la conservazione della carica.

Le sfere $B$ e $C$ hanno cariche dello stesso segno, quindi si respingono, e il modulo della forza è dato dalla legge di Coulomb con la distanza in metri.

Esercizio 4

Due sferette conduttrici identiche, poste nel vuoto a distanza $r = 0, 50 m$ , si attraggono con una forza di modulo $F_{1} = 0, 432 N$ . Le sferette vengono messe a contatto e poi riportate alla stessa distanza, e ora si respingono con una forza di modulo $F_{2} = 0, 144 N$ . Calcolare le cariche iniziali, trattando le sferette come cariche puntiformi.

⎩ ⎨ ⎧ q_{1} q_{2} = - \frac{F _{1} r ^{2}}{k} (\frac{q _{1} + q _{2}}{2})^{2} = \frac{F _{2} r ^{2}}{k} ⟹ {q_{1} q_{2} = p q_{1} + q_{2} = s con p = - \frac{F _{1} r ^{2}}{k}, s = \pm 2 r \frac{F _{2}}{k}

p s = - \frac{0 , 432 \cdot 0 , 5 0 ^{2}}{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9}} C^{2} \approx - 1, 20 \cdot 1 0^{- 11} C^{2} = \pm 2 \cdot 0, 50 \cdot \frac{0 , 144}{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9}} C \approx \pm 4, 00 \cdot 1 0^{- 6} C

t^{2} - s t + p = 0 ⟹ t = \frac{4 , 00 \pm 4 , 0 0 ^{2} + 4 \cdot 12 , 0}{2} μ C = \frac{4 , 00 \pm 8 , 00}{2} μ C

q_{1} = + 6, 0 μ C, q_{2} = - 2, 0 μ C oppure q_{1} = - 6, 0 μ C, q_{2} = + 2, 0 μ C

Prima del contatto la forza è attrattiva, quindi le cariche hanno segno opposto e il loro prodotto è negativo; la legge di Coulomb dà allora $q_{1} q_{2} = - \frac{F _{1} r ^{2}}{k}$ . Dopo il contatto ciascuna sferetta ha la carica $\frac{q _{1} + q _{2}}{2}$ , per il contatto tra due sfere conduttrici uguali, e la legge di Coulomb applicata alla forza repulsiva dà il quadrato di quella carica. Le due equazioni devono valere insieme e formano un sistema nelle incognite $q_{1}$ e $q_{2}$ , di cui si conoscono il prodotto e la somma, a meno del segno della somma.

Due numeri con somma $s$ e prodotto $p$ sono le soluzioni dell’equazione $t^{2} - s t + p = 0$ . Con $s = + 4, 00 μ C$ e $p = - 12, 0 (μ C)^{2}$ le soluzioni sono $+ 6, 0 μ C$ e $- 2, 0 μ C$ ; con $s = - 4, 00 μ C$ si ottengono le cariche opposte. Le forze dipendono solo dai prodotti delle cariche, perciò le misure di forza non distinguono le due soluzioni; quindi le cariche valgono, in valore assoluto, $6, 0 μ C$ e $2, 0 μ C$ , con segni opposti.

Come controllo, con $+ 6, 0 μ C$ e $- 2, 0 μ C$ la forza iniziale è $8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{12 \cdot 1 0 ^{- 12}}{0 , 25} N \approx 0, 432 N$ , e dopo il contatto ciascuna carica vale $+ 2, 0 μ C$ e la forza è $8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 12}}{0 , 25} N \approx 0, 144 N$ .