Esercizi svolti · Scheda 3

Forze su cariche allineate

Teoria usata: Principio di sovrapposizione Cariche su una retta Legge di Coulomb Somma delle forze interne

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Esercizio 1

Sull’asse $x$ , nel vuoto, si trovano le cariche puntiformi $q_{1} = + 2, 0 μ C$ in $x_{1} = 0$ e $q_{2} = - 4, 0 μ C$ in $x_{2} = 0, 30 m$ . Calcolare la forza totale sulla carica $q_{0} = + 1, 0 μ C$ posta in $x_{0} = 0, 10 m$ .

F_{x} = k \frac{q _{1} q _{0}}{( x _{0} - x _{1} ) ^{2}} + k \frac{∣ q _{2} ∣ q _{0}}{( x _{2} - x _{0} ) ^{2}}

F_{1} F_{2} F_{x} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{0 , 1 0 ^{2}} N \approx 1, 80 N = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{0 , 2 0 ^{2}} N \approx 0, 90 N = F_{1} + F_{2} \approx 2, 7 N

Per il principio di sovrapposizione la forza totale su $q_{0}$ è la somma delle forze che $q_{1}$ e $q_{2}$ eserciterebbero da sole, e tutte le forze sono dirette lungo l’asse $x$ . La carica $q_{1}$ è positiva come $q_{0}$ e sta alla sua sinistra, quindi la respinge verso destra. La carica $q_{2}$ è negativa e sta a destra di $q_{0}$ , quindi la attrae verso destra. I due contributi hanno lo stesso verso e si sommano.

La forza totale ha modulo $2, 7 N$ ed è diretta verso destra, cioè verso $q_{2}$ . Il contributo di $q_{2}$ è la metà di quello di $q_{1}$ , perché $q_{2}$ ha valore assoluto doppio e distanza doppia da $q_{0}$ , quindi il suo contributo è moltiplicato per $\frac{2}{2 ^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Esercizio 2

Sull’asse $x$ , nel vuoto, si trovano le cariche puntiformi $q_{1} = + 3, 0 μ C$ in $x_{1} = 0$ e $q_{2} = - 3, 0 μ C$ in $x_{2} = 0, 20 m$ . Calcolare la forza totale sulla carica $q_{0} = + 2, 0 μ C$ posta in $x_{0} = 0, 40 m$ .

F_{x} = k \frac{q _{1} q _{0}}{( x _{0} - x _{1} ) ^{2}} - k \frac{∣ q _{2} ∣ q _{0}}{( x _{0} - x _{2} ) ^{2}}

F_{1} F_{2} F_{x} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{0 , 4 0 ^{2}} N \approx 0, 337 N = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{0 , 2 0 ^{2}} N \approx 1, 349 N = F_{1} - F_{2} \approx - 1, 0 N

Ora $q_{0}$ sta a destra di entrambe le cariche. La carica $q_{1}$ , positiva, la respinge verso destra; la carica $q_{2}$ , negativa, la attrae verso sinistra. Per la regola delle cariche su una retta il primo contributo è positivo e il secondo negativo.

Le due cariche hanno lo stesso valore assoluto, e $q_{2}$ è a distanza metà di quella di $q_{1}$ , quindi il suo contributo è quattro volte maggiore. La forza totale ha componente negativa, cioè è diretta verso sinistra, con modulo circa $1, 0 N$ .

Esercizio 3

Sull’asse $x$ , nel vuoto, si trovano le cariche puntiformi $q_{1} = + 1, 0 μ C$ in $x_{1} = 0$ , $q_{2} = + 2, 0 μ C$ in $x_{2} = 0, 10 m$ e $q_{3} = - 3, 0 μ C$ in $x_{3} = 0, 30 m$ . Calcolare la forza totale su ciascuna carica e verificare che la loro somma è nulla.

F_{12} = k \frac{∣ q _{1} q _{2} ∣}{0 , 1 0 ^{2}}, F_{13} = k \frac{∣ q _{1} q _{3} ∣}{0 , 3 0 ^{2}}, F_{23} = k \frac{∣ q _{2} q _{3} ∣}{0 , 2 0 ^{2}}

F_{12} F_{13} F_{23} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 12}}{0 , 010} N \approx 1, 798 N = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 12}}{0 , 090} N \approx 0, 300 N = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{6 , 0 \cdot 1 0 ^{- 12}}{0 , 040} N \approx 1, 349 N

F_{1, x} F_{2, x} F_{3, x} F_{1, x} + F_{2, x} + F_{3, x} = - F_{12} + F_{13} \approx (- 1, 798 + 0, 300) N \approx - 1, 50 N = + F_{12} + F_{23} \approx (1, 798 + 1, 349) N \approx + 3, 15 N = - F_{13} - F_{23} \approx (- 0, 300 - 1, 349) N \approx - 1, 65 N \approx (- 1, 50 + 3, 15 - 1, 65) N = 0

Forze totali sulle tre cariche, disegnate in scala: la somma delle tre forze è nulla

Le tre cariche formano tre coppie, e per ogni coppia si calcola una sola volta il modulo della forza con la legge di Coulomb, perché per l’azione e reazione le due cariche della coppia subiscono forze di modulo uguale e versi opposti. La coppia $q_{1}$ , $q_{2}$ è repulsiva; le coppie $q_{1}$ , $q_{3}$ e $q_{2}$ , $q_{3}$ sono attrattive.

Su $q_{1}$ la carica $q_{2}$ spinge verso sinistra e $q_{3}$ attira verso destra; su $q_{2}$ la carica $q_{1}$ spinge verso destra e anche $q_{3}$ attira verso destra; su $q_{3}$ entrambe le cariche positive attirano verso sinistra. Le forze totali sono quindi $1, 50 N$ verso sinistra su $q_{1}$ , $3, 15 N$ verso destra su $q_{2}$ e $1, 65 N$ verso sinistra su $q_{3}$ .

La somma è nulla, come prevede la somma delle forze interne: ogni modulo $F_{ij}$ compare due volte, con segni opposti. Il controllo conferma i calcoli.