Esercizi svolti · Scheda 1

Forze tra due cariche puntiformi

Teoria usata: Legge di Coulomb Carica puntiforme Quantizzazione della carica Dipendenza dalla distanza Azione e reazione tra due cariche

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Esercizio 1

Due cariche puntiformi $q_{1} = + 3, 0 μ C$ e $q_{2} = - 5, 0 μ C$ si trovano nel vuoto a distanza $r = 0, 30 m$ . Calcolare il modulo della forza che ciascuna carica esercita sull’altra e stabilirne direzione e verso.

F = k \frac{∣ q _{1} ∣ ∣ q _{2} ∣}{r ^{2}}

F = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{0 , 3 0 ^{2}} N = \frac{0 , 135}{0 , 090} N \approx 1, 5 N

Le due cariche sono puntiformi e ferme nel vuoto, quindi si applica la legge di Coulomb. Il modulo della forza si calcola con i valori assoluti delle cariche, e il verso si ricava dalla regola dei segni. Le cariche hanno segno opposto, perciò si attraggono, e la forza su $q_{2}$ è diretta lungo la congiungente verso $q_{1}$ , mentre la forza su $q_{1}$ è diretta verso $q_{2}$ .

Per l’azione e reazione tra due cariche le due forze hanno lo stesso modulo, $1, 5 N$ , anche se le cariche hanno valori assoluti diversi. Il risultato ha due cifre significative, come i dati.

Esercizio 2

Due sferette identiche, con la stessa carica positiva $q$ , si trovano nel vuoto a distanza $r = 5, 0 cm$ e si respingono con una forza di modulo $F = 0, 90 N$ . Le sferette si trattano come cariche puntiformi. Calcolare $q$ , il numero di elettroni che manca a ciascuna sferetta e il modulo della forza quando la distanza triplica.

F = k \frac{q ^{2}}{r ^{2}} ⟹ q = r \frac{F}{k}, n = \frac{q}{e}, F^{'} = k \frac{q ^{2}}{( 3 r ) ^{2}} = \frac{F}{9}

q n F^{'} = 0, 050 \cdot \frac{0 , 90}{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9}} C = 0, 050 \cdot 1, 0 \cdot 1 0^{- 5} C = 5, 0 \cdot 1 0^{- 7} C = 0, 50 μ C = \frac{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 7}}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 3, 1 \cdot 1 0^{12} = \frac{0 , 90}{9} N = 0, 10 N

Le sferette hanno la stessa carica, quindi nella legge di Coulomb il prodotto dei valori assoluti delle cariche è $q^{2}$ . Si ricava $q$ dividendo per $k$ , moltiplicando per $r^{2}$ e prendendo la radice positiva, perché la carica è positiva per ipotesi. La distanza va espressa in metri, $5, 0 cm = 0, 050 m$ , poiché $k$ è espressa in unità del Sistema Internazionale.

Una sferetta carica positivamente ha perso elettroni; per la quantizzazione della carica il numero di elettroni mancanti è il rapporto tra la carica e la carica elementare. Infine la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, perciò triplicando la distanza la forza diventa un nono, senza bisogno di ricalcolare la carica.

Esercizio 3

Nel vuoto la carica $q_{1} = + 2, 0 μ C$ si trova nell’origine e la carica $q_{2} = - 3, 0 μ C$ nel punto $(0, 40 m; 0, 30 m)$ . Calcolare in componenti la forza $F_{12}$ che $q_{1}$ esercita su $q_{2}$ , il suo modulo e la forza $F_{21}$ che $q_{2}$ esercita su $q_{1}$ .

La forza che

q_{1}

esercita su

q_{2}

è diretta lungo la congiungente verso

q_{1}

, perché le cariche hanno segno opposto

F_{12} = k \frac{q _{1} q _{2}}{∣ r _{2} - r _{1} ∣ ^{3}} (r_{2} - r_{1}), F_{21} = - F_{12}

r_{2} - r_{1} k \frac{q _{1} q _{2}}{∣ r _{2} - r _{1} ∣ ^{3}} F_{12} F_{12} F_{21} = (0, 40 \overset{}{^} + 0, 30 \overset{}{^}) m, ∣ r_{2} - r_{1} ∣ = 0, 4 0^{2} + 0, 3 0^{2} m = 0, 50 m = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot ( - 3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} )}{0 , 5 0 ^{3}} N/m \approx - 0, 432 N/m \approx - 0, 432 \cdot (0, 40 \overset{}{^} + 0, 30 \overset{}{^}) N \approx (- 0, 17 \overset{}{^} - 0, 13 \overset{}{^}) N = 0, 432 \cdot 0, 50 N \approx 0, 22 N \approx (0, 17 \overset{}{^} + 0, 13 \overset{}{^}) N

Le posizioni sono date in coordinate, quindi si usa la forma vettoriale della legge di Coulomb, che dà le componenti con il segno corretto. Il vettore $r_{2} - r_{1}$ va da $q_{1}$ a $q_{2}$ e ha lunghezza $0, 50 m$ , perché i cateti misurano $0, 40 m$ e $0, 30 m$ . Il coefficiente $k \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{3}}$ è negativo, poiché le cariche hanno segno opposto; perciò $F_{12}$ ha verso opposto a $r_{2} - r_{1}$ , cioè punta da $q_{2}$ verso $q_{1}$ , come richiede un’attrazione.

Il modulo è il valore assoluto del coefficiente per la distanza, e coincide con $k \frac{∣ q _{1} ∣ ∣ q _{2} ∣}{r ^{2}} = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{6 , 0 \cdot 1 0 ^{- 12}}{0 , 25} N \approx 0, 22 N$ , che è un controllo del calcolo. Per l’azione e reazione tra due cariche la forza su $q_{1}$ è l’opposta di $F_{12}$ e punta verso $q_{2}$ .