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Worked examples · Sheet 3

Studi completi di funzioni polinomiali e razionali fratte

Theory used: Schema dello studio di funzione Criterio della derivata prima Segno della derivata seconda e concavità Derivata seconda e flessi Massimo e minimo assoluti

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Esercizio 1

Studia la funzione $f(x) = x^4 - 2x^2$ e traccia il suo grafico.

Dominio e simmetrie

D = \mathbb{R} , \qquad f(-x) = (-x)^4 - 2\,(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)

Intersezioni con gli assi e segno

f(x) = x^2\,\left( x^2 - 2 \right) = 0 \iff x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = \pm\sqrt{2}

f(x) > 0 \iff x^2 - 2 > 0 \iff x < -\sqrt{2} \quad \text{oppure} \quad x > \sqrt{2}

Limiti

\lim_{x \to \pm\infty} \left( x^4 - 2x^2 \right) = \lim_{x \to \pm\infty} x^4 \left( 1 - \frac{2}{x^2} \right) = +\infty

Derivata prima

f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x\,(x - 1)(x + 1)

	$x < -1$	$-1 < x < 0$	$0 < x < 1$	$x > 1$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$
$f$	decrescente	crescente	decrescente	crescente

f(\pm 1) = 1 - 2 = -1 , \qquad f(0) = 0

Derivata seconda

f''(x) = 12x^2 - 4 = 4\,\left( 3x^2 - 1 \right)

f''(x) > 0 \iff x < -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{oppure} \quad x > \frac{\sqrt{3}}{3} , \qquad f\left( \pm\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = -\frac{5}{9}

La funzione ha minimi assoluti in $(\pm 1, -1)$ , un massimo relativo in $(0, 0)$ e due flessi in $\left( \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{5}{9} \right)$ .

y = x^{4} - 2 x^{2}

Grafico di

f (x) = x^{4} - 2 x^{2}

, con i minimi

(\pm 1, - 1)

, il massimo relativo

(0, 0)

e i flessi (punti vuoti) di ascisse

\pm \frac{3}{3}

La funzione è un polinomio, quindi è definita, continua e derivabile su tutto $\mathbb{R}$ . Contiene solo potenze pari di $x$ , perciò è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ . Per trovare le intersezioni con l’asse $x$ si raccoglie $x^2$ . Il fattore $x^2$ è positivo per $x \neq 0$ , quindi il segno di $f$ è quello di $x^2 - 2$ . La funzione è positiva per $|x| > \sqrt{2}$ e negativa per $0 < |x| < \sqrt{2}$ . In $x = 0$ il grafico tocca l’asse $x$ senza attraversarlo.

I limiti per $x \to \pm\infty$ si calcolano raccogliendo la potenza di grado massimo, e valgono $+\infty$ . Un polinomio di grado maggiore di uno non ha asintoti, né orizzontali né obliqui, perché anche $\dfrac{f(x)}{x}$ tende a infinito.

La derivata prima si scompone in $4x\,\left( x^2 - 1 \right) = 4x\,(x - 1)(x + 1)$ . Il segno del prodotto dei tre fattori dà la tabella. Per il criterio della derivata prima i punti $x = \pm 1$ sono di minimo relativo e $x = 0$ è di massimo relativo. I minimi sono anche assoluti, perché $f(x) = \left( x^2 - 1 \right)^2 - 1 \geq -1$ per ogni $x$ .

La derivata seconda è un trinomio con radici $\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , positivo fuori dall’intervallo delle radici. Il grafico ha quindi la concavità verso l’alto per $|x| > \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ e verso il basso per $|x| < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ . In entrambi i punti $f''$ cambia segno, perciò sono flessi. Per l’ordinata si usa $x^2 = \dfrac{1}{3}$ e $x^4 = \dfrac{1}{9}$ .

Esercizio 2

Studia la funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x - 2}$ e traccia il suo grafico.

Dominio, simmetrie e intersezioni

D = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) , \qquad f(0) = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} , \qquad f(x) = 0 \iff x = \pm\sqrt{3}

Segno

	$x < -\sqrt{3}$	$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$	$\sqrt{3} < x < 2$	$x > 2$
$x^2 - 3$	$+$	$-$	$+$	$+$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

Limiti e asintoti

\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 3}{x - 2} = -\infty , \qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 3}{x - 2} = +\infty

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 3}{x\,(x - 2)} = 1 , \qquad q = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2 - 3}{x - 2} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 3}{x - 2} = 2

Derivata prima

f'(x) = \frac{2x\,(x - 2) - \left( x^2 - 3 \right)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}

	$x < 1$	$1 < x < 2$	$2 < x < 3$	$x > 3$
$f'(x)$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crescente	decrescente	decrescente	crescente

f(1) = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2 , \qquad f(3) = \frac{9 - 3}{3 - 2} = 6

Derivata seconda

f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3}

La funzione ha l’asintoto verticale $x = 2$ e l’asintoto obliquo $y = x + 2$ , un massimo relativo in $(1, 2)$ e un minimo relativo in $(3, 6)$ ; il grafico ha la concavità verso il basso per $x < 2$ e verso l’alto per $x > 2$ , e non ci sono flessi.

y = \dfrac{x^2 - 3}{x - 2}

y = x + 2

Grafico di

f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x - 2}

, con l'asintoto verticale

x = 2

, l'asintoto obliquo

y = x + 2

, il massimo relativo

(1, 2)

e il minimo relativo

(3, 6)

Il denominatore si annulla in $x = 2$ , che si esclude dal dominio. Il dominio non è simmetrico rispetto a $0$ , quindi la funzione non è né pari né dispari. Il grafico incontra l’asse $y$ in $\left( 0, \dfrac{3}{2} \right)$ e l’asse $x$ nei punti in cui si annulla il numeratore, cioè in $x = \pm\sqrt{3}$ . Il segno di $f$ si ricava dalla tabella dei segni del numeratore e del denominatore.

Per $x \to 2$ il numeratore tende a $4 - 3 = 1$ e il denominatore tende a $0$ , negativo da sinistra e positivo da destra. Quindi $f(x) \to -\infty$ per $x \to 2^-$ e $f(x) \to +\infty$ per $x \to 2^+$ , e la retta $x = 2$ è un asintoto verticale. Il grado del numeratore supera di uno quello del denominatore, perciò si cerca un asintoto obliquo con le formule di $m$ e $q$ . Nel calcolo di $q$ si riduce allo stesso denominatore, e al numeratore resta $x^2 - 3 - x^2 + 2x = 2x - 3$ . L’asintoto obliquo è $y = x + 2$ , sia a destra sia a sinistra.

La derivata prima si ottiene con la regola del quoziente. Il denominatore $(x - 2)^2$ è positivo nel dominio, quindi il segno di $f'$ è quello del trinomio $(x - 1)(x - 3)$ , positivo fuori dall’intervallo $[1, 3]$ e negativo dentro. Per il criterio della derivata prima $x = 1$ è un punto di massimo relativo e $x = 3$ è un punto di minimo relativo.

Derivando $f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$ con la regola del quoziente e semplificando un fattore $x - 2$ , al numeratore resta $(2x - 4)(x - 2) - 2\,\left( x^2 - 4x + 3 \right) = 2$ . Il segno di $f''$ è quindi quello di $(x - 2)^3$ , cioè di $x - 2$ . La concavità cambia in $x = 2$ , che però non appartiene al dominio, perciò la funzione non ha flessi. Come controllo, il grafico sta sotto l’asintoto obliquo per $x < 2$ e sopra per $x > 2$ , perché $f(x) - (x + 2) = \dfrac{1}{x - 2}$ .