Probabilità classica calcolata con il calcolo combinatorio

Theory used: Probabilità classica Disposizioni e permutazioni Combinazioni e coefficiente binomiale Spazio campionario ed eventi

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Esercizio 1

Si lanciano due dadi. Calcola la probabilità che la somma dei due numeri sia $8$ e la probabilità che i due numeri siano diversi.

\text{casi possibili} = D'_{6,2} = 6^2 = 36

\text{somma } 8: \quad (2, 6),\ (3, 5),\ (4, 4),\ (5, 3),\ (6, 2) \qquad \Longrightarrow \qquad P(\text{somma } 8) = \frac{5}{36}

\text{numeri diversi}: \quad D_{6,2} = 6 \cdot 5 = 30 \qquad \Longrightarrow \qquad P(\text{numeri diversi}) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}

Il risultato del lancio è una coppia ordinata, perché il primo dado e il secondo sono distinguibili. Ogni dado dà $6$ risultati, e i risultati possono ripetersi, quindi i casi possibili sono le disposizioni con ripetizione $6^2 = 36$ . I $36$ casi sono equiprobabili, perciò si applica la probabilità classica.

Le coppie con somma $8$ si elencano facendo variare il primo numero. Il primo numero non può essere $1$ , perché il secondo dovrebbe essere $7$ ; da $2$ a $6$ c’è invece una sola coppia per ogni valore. Le coppie sono $5$ , quindi la probabilità è $\dfrac{5}{36}$ . La coppia $(4, 4)$ si conta una volta sola, mentre $(3, 5)$ e $(5, 3)$ sono due casi diversi.

Le coppie con i due numeri diversi sono disposizioni semplici, perché il secondo numero si sceglie fra i $5$ diversi dal primo. Sono $30$ , e la probabilità è $\dfrac{5}{6}$ . Lo stesso risultato si ottiene osservando che le coppie con numeri uguali sono $6$ , quindi quelle con numeri diversi sono $36 - 6 = 30$ .

Esercizio 2

Un’urna contiene $5$ palline rosse e $3$ blu. Si estraggono contemporaneamente $2$ palline. Calcola la probabilità che siano entrambe rosse e la probabilità che siano di colori diversi.

\text{casi possibili} = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

P(\text{due rosse}) = \frac{\dbinom{5}{2}}{28} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}

P(\text{una rossa e una blu}) = \frac{\dbinom{5}{1} \dbinom{3}{1}}{28} = \frac{5 \cdot 3}{28} = \frac{15}{28}

Le palline si estraggono insieme, quindi l’ordine non conta e i casi possibili sono le combinazioni di $8$ palline a $2$ a $2$ , cioè $28$ . Le palline sono considerate distinte anche se hanno lo stesso colore, e per questo motivo i $28$ casi sono equiprobabili.

I casi favorevoli al primo evento sono le coppie formate da due delle $5$ rosse, cioè $\dbinom{5}{2} = 10$ . Per il secondo evento si sceglie una rossa fra $5$ e una blu fra $3$ ; ogni scelta della rossa si combina con ogni scelta della blu, quindi i casi sono $5 \cdot 3 = 15$ .

Le coppie di due blu sono $\dbinom{3}{2} = 3$ . Si ha $10 + 15 + 3 = 28$ , e questo conferma che i tre tipi di coppia esauriscono tutti i casi.

Esercizio 3

Si forma a caso un codice di $4$ cifre, scelte fra $0, 1, \dots, 9$ con la possibilità di ripeterle. Calcola la probabilità che le cifre siano tutte diverse e la probabilità che le cifre, lette da sinistra a destra, siano in ordine strettamente crescente.

\text{casi possibili} = D'_{10,4} = 10^4 = 10\,000

P(\text{cifre diverse}) = \frac{D_{10,4}}{10\,000} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{10\,000} = \frac{5040}{10\,000} = \frac{63}{125}

P(\text{cifre crescenti}) = \frac{\dbinom{10}{4}}{10\,000} = \frac{210}{10\,000} = \frac{21}{1000}

Un codice è una sequenza ordinata di $4$ cifre che possono ripetersi, quindi i codici possibili sono le disposizioni con ripetizione di $10$ cifre a $4$ a $4$ , cioè $10\,000$ . Il codice è formato a caso, perciò i codici sono equiprobabili.

I codici con cifre tutte diverse sono le disposizioni semplici $D_{10,4}$ , perché la prima cifra si sceglie in $10$ modi, la seconda in $9$ , la terza in $8$ e la quarta in $7$ . La probabilità è $\dfrac{5040}{10\,000} = 0{,}504$ , cioè $\dfrac{63}{125}$ .

Un codice con cifre in ordine strettamente crescente è determinato dall’insieme delle sue quattro cifre. Per esempio, l’insieme $\{2, 5, 7, 9\}$ dà il solo codice crescente $2579$ . I codici crescenti corrispondono quindi alle combinazioni di $10$ cifre a $4$ a $4$ , che sono $\dbinom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = 210$ , e la probabilità è $\dfrac{21}{1000}$ .

Esercizio 4

Da un mazzo di $40$ carte, con $4$ semi di $10$ carte ciascuno, si estraggono contemporaneamente $3$ carte. Calcola la probabilità che le tre carte siano dello stesso seme e la probabilità che fra le tre carte ci siano esattamente due assi.

\text{casi possibili} = \binom{40}{3} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38}{6} = 9880

P(\text{stesso seme}) = \frac{4 \cdot \dbinom{10}{3}}{9880} = \frac{4 \cdot 120}{9880} = \frac{480}{9880} = \frac{12}{247}

P(\text{due assi}) = \frac{\dbinom{4}{2} \dbinom{36}{1}}{9880} = \frac{6 \cdot 36}{9880} = \frac{216}{9880} = \frac{27}{1235}

Le carte si estraggono insieme, quindi i casi possibili sono le combinazioni di $40$ carte a $3$ a $3$ . Nel calcolo $40 \cdot 39 \cdot 38 = 59\,280$ si divide per $3! = 6$ e si ottiene $9880$ .

Per avere tre carte dello stesso seme si sceglie prima il seme, in $4$ modi, e poi tre carte fra le $10$ di quel seme, in $\dbinom{10}{3} = 120$ modi. I casi favorevoli sono $480$ , e dividendo numeratore e denominatore per $40$ si ottiene la probabilità $\dfrac{12}{247} \approx 0{,}049$ .

Per avere esattamente due assi si scelgono $2$ assi fra i $4$ del mazzo e la terza carta fra le $36$ carte che non sono assi. La terza carta deve essere scelta fuori dagli assi, perché altrimenti gli assi sarebbero tre. I casi favorevoli sono $6 \cdot 36 = 216$ , e dividendo per $8$ si ottiene $\dfrac{27}{1235} \approx 0{,}022$ .