Limiti all'infinito di polinomi e funzioni razionali

Theory used: Limiti all'infinito di polinomi e funzioni razionali Operazioni con i limiti infiniti Forme indeterminate Limite finito all'infinito

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Esercizio 1

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left( 2x^3 - 5x^2 + 1 \right)$ .

2x^3 - 5x^2 + 1 \;\to\; -\infty - \infty + 1

2x^3 - 5x^2 + 1 = x^3 \left( 2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3} \right)

\lim_{x \to -\infty} x^3 \left( 2 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^3} \right) = (-\infty) \cdot 2 = -\infty

Per $x \to -\infty$ il termine $2x^3$ tende a $-\infty$ , perché $x^3$ è negativo, e il termine $-5x^2$ tende anch’esso a $-\infty$ . La somma di due limiti uguali a $-\infty$ è $-\infty$ , quindi in questo caso non c’è forma indeterminata. Il raccoglimento di $x^3$ mostra comunque il metodo generale. I due quozienti $\dfrac{5}{x}$ e $\dfrac{1}{x^3}$ tendono a $0$ , perciò il fattore $2 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^3}$ tende a $2$ . Il limite è il prodotto di $-\infty$ per $2$ , cioè $-\infty$ , come il limite del solo termine di grado massimo $2x^3$ .

Esercizio 2

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^2 - 3x}{1 - 2x^2}$ e interpreta il risultato nel grafico.

\frac{4x^2 - 3x}{1 - 2x^2} = \frac{x^2 \left( 4 - \dfrac{3}{x} \right)}{x^2 \left( \dfrac{1}{x^2} - 2 \right)} = \frac{4 - \dfrac{3}{x}}{\dfrac{1}{x^2} - 2}

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4 - \dfrac{3}{x}}{\dfrac{1}{x^2} - 2} = \frac{4}{-2} = -2

y = \dfrac{4x^2 - 3x}{1 - 2x^2}

Per

x \to \pm \infty

la funzione

y = \frac{4 x ^{2} - 3 x}{1 - 2 x ^{2}}

tende a

- 2

, e la retta

y = - 2

è un asintoto orizzontale

Per $x \to \pm\infty$ numeratore e denominatore tendono a infinito, quindi il limite si presenta nella forma indeterminata $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Si raccoglie al numeratore e al denominatore la potenza di grado massimo, $x^2$ , che poi si semplifica. Dopo la semplificazione i termini $\dfrac{3}{x}$ e $\dfrac{1}{x^2}$ tendono a $0$ , e resta il quoziente dei coefficienti direttori, $\dfrac{4}{-2} = -2$ .

Il risultato è coerente con la regola delle funzioni razionali. Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, quindi il limite è il quoziente dei coefficienti dei termini di grado massimo. Il limite è lo stesso per $x \to +\infty$ e per $x \to -\infty$ , perciò la retta $y = -2$ è un asintoto orizzontale da entrambe le parti.

Esercizio 3

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{3x - x^2}$ .

\frac{x^3 + 2}{3x - x^2} = \frac{x^3 \left( 1 + \dfrac{2}{x^3} \right)}{x^2 \left( \dfrac{3}{x} - 1 \right)} = x \cdot \frac{1 + \dfrac{2}{x^3}}{\dfrac{3}{x} - 1}

\lim_{x \to -\infty} x \cdot \frac{1 + \dfrac{2}{x^3}}{\dfrac{3}{x} - 1} = (-\infty) \cdot \frac{1}{-1} = +\infty

Il limite si presenta nella forma $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Il numeratore ha grado $3$ e il denominatore grado $2$ , quindi si raccoglie $x^3$ sopra e $x^2$ sotto. Il quoziente $\dfrac{x^3}{x^2}$ vale $x$ , che tende a $-\infty$ , mentre la frazione che rimane tende a $\dfrac{1}{-1} = -1$ .

Il prodotto di $-\infty$ per il numero negativo $-1$ è $+\infty$ , per la regola dei segni. Il limite è quindi $+\infty$ . Il segno si controlla anche con i soli termini di grado massimo, perché $\dfrac{x^3}{-x^2} = -x$ , e $-x$ per $x \to -\infty$ tende a $+\infty$ .

Esercizio 4

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x + 1} - x \right)$ .

\frac{x^2}{x + 1} - x \;\to\; +\infty - \infty

\frac{x^2}{x + 1} - x = \frac{x^2 - x\,(x + 1)}{x + 1} = \frac{x^2 - x^2 - x}{x + 1} = \frac{-x}{x + 1}

\lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{x + 1} = \frac{-1}{1} = -1

Il primo termine tende a $+\infty$ , perché il numeratore ha grado maggiore del denominatore, e il secondo termine tende a $-\infty$ . Il limite si presenta quindi nella forma indeterminata $+\infty - \infty$ . Per eliminarla si esegue la differenza, riducendo allo stesso denominatore $x + 1$ . Al numeratore i termini $x^2$ si annullano e resta $-x$ .

La funzione ottenuta è un quoziente di due polinomi di primo grado, quindi per $x \to +\infty$ tende al quoziente dei coefficienti direttori, che è $\dfrac{-1}{1} = -1$ . Il limite vale perciò $-1$ . Il risultato dice che, per $x$ grande, il grafico di $\dfrac{x^2}{x + 1}$ si avvicina alla retta $y = x - 1$ ; questa retta è un asintoto obliquo, e gli asintoti obliqui si studiano nell’argomento sulla continuità e gli asintoti.