Limiti all'infinito di polinomi e funzioni razionali

Per $x\to -\infty$ il termine $2x^3$ tende a $-\infty$, perché $x^3$ è negativo, e il termine $-5x^2$ tende anch’esso a $-\infty$. La somma di due limiti uguali a $-\infty$ è $-\infty$, quindi in questo caso non c’è forma indeterminata. Il raccoglimento di $x^3$ mostra comunque il metodo generale. I due quozienti $\frac{5}{x}$ e $\frac{1}{x^3}$ tendono a $0$, perciò il fattore $2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^3}$ tende a $2$. Il limite è il prodotto di $-\infty$ per $2$, cioè $-\infty$, come il limite del solo termine di grado massimo $2x^3$.

Per $x\to \pm \infty$ numeratore e denominatore tendono a infinito, quindi il limite si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$. Si raccoglie al numeratore e al denominatore la potenza di grado massimo, $x^2$, che poi si semplifica. Dopo la semplificazione i termini $\frac{3}{x}$ e $\frac{1}{x^2}$ tendono a $0$, e resta il quoziente dei coefficienti direttori, $\frac{4}{-2}=-2$.

Il risultato è coerente con la regola delle funzioni razionali. Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, quindi il limite è il quoziente dei coefficienti dei termini di grado massimo. Il limite è lo stesso per $x\to +\infty$ e per $x\to -\infty$, perciò la retta $y=-2$ è un asintoto orizzontale da entrambe le parti.

Il limite si presenta nella forma $\frac{\infty }{\infty }$. Il numeratore ha grado $3$ e il denominatore grado $2$, quindi si raccoglie $x^3$ sopra e $x^2$ sotto. Il quoziente $\frac{x^3}{x^2}$ vale $x$, che tende a $-\infty$, mentre la frazione che rimane tende a $\frac{1}{-1}=-1$.

Il prodotto di $-\infty$ per il numero negativo $-1$ è $+\infty$, per la regola dei segni. Il limite è quindi $+\infty$. Il segno si controlla anche con i soli termini di grado massimo, perché $\frac{x^3}{-x^2}=-x$, e $-x$ per $x\to -\infty$ tende a $+\infty$.

Il primo termine tende a $+\infty$, perché il numeratore ha grado maggiore del denominatore, e il secondo termine tende a $-\infty$. Il limite si presenta quindi nella forma indeterminata $+\infty -\infty$. Per eliminarla si esegue la differenza, riducendo allo stesso denominatore $x+1$. Al numeratore i termini $x^2$ si annullano e resta $-x$.

La funzione ottenuta è un quoziente di due polinomi di primo grado, quindi per $x\to +\infty$ tende al quoziente dei coefficienti direttori, che è $\frac{-1}{1}=-1$. Il limite vale perciò $-1$. Il risultato dice che, per $x$ grande, il grafico di $\frac{x^2}{x+1}$ si avvicina alla retta $y=x-1$; questa retta è un asintoto obliquo, e gli asintoti obliqui si studiano nell’argomento sulla continuità e gli asintoti.