Aree delle regioni comprese tra una curva e l'asse x

Theory used: Trapezoide Segno dell'integrale e area Formula fondamentale del calcolo integrale Integrali di funzioni pari e dispari Area del segmento parabolico

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Esercizio 1

Calcola l’area della regione delimitata dal grafico di $f(x) = -x^2 + 4x$ e dall’asse $x$ .

-x^2 + 4x = 0 \iff x\,(4 - x) = 0 \iff x = 0 \quad \text{oppure} \quad x = 4

f(x) \geq 0 \quad \text{per } 0 \leq x \leq 4

A = \int_0^4 \left( -x^2 + 4x \right) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_0^4 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{32}{3}

y = -x^2 + 4x

La regione compresa tra la parabola

y = - x^{2} + 4 x

e l'asse

x

ha area

\frac{32}{3}

La regione è delimitata dalla parabola e dall’asse $x$ , quindi gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti in cui la parabola incontra l’asse, cioè gli zeri di $f$ . Raccogliendo $x$ si trovano $x = 0$ e $x = 4$ .

La parabola ha la concavità rivolta verso il basso, perché il coefficiente di $x^2$ è negativo, quindi tra i due zeri sta sopra l’asse. La regione è perciò il trapezoide di $f$ su $[0, 4]$ , e la sua area è l’integrale di $f$ . Una primitiva di $-x^2 + 4x$ è $-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2$ , che vale $\dfrac{32}{3}$ in $4$ e $0$ in $0$ . Lo stesso risultato si ottiene con la formula del segmento parabolico, $\dfrac{1 \cdot 4^3}{6} = \dfrac{32}{3}$ .

Esercizio 2

Calcola l’integrale $\displaystyle\int_{-2}^{2} \left( x^3 - 4x \right) dx$ e l’area della regione compresa tra il grafico di $f(x) = x^3 - 4x$ e l’asse $x$ nell’intervallo $[-2, 2]$ .

\int_{-2}^{2} \left( x^3 - 4x \right) dx = 0

x^3 - 4x = x\,(x - 2)(x + 2) , \qquad f(x) \leq 0 \quad \text{per } 0 \leq x \leq 2

A = 2 \int_0^2 \left( 4x - x^3 \right) dx = 2 \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2\,(8 - 4) = 8

y = x^3 - 4x

Le due regioni tra

y = x^{3} - 4 x

e l'asse

x

[- 2, 2]

hanno entrambe area

4

; l'integrale vale

0

e l'area totale vale

8

La funzione $x^3 - 4x$ è dispari, perché $f(-x) = -x^3 + 4x = -f(x)$ , e l’intervallo $[-2, 2]$ è simmetrico rispetto all’origine. Per la proprietà degli integrali di funzioni dispari l’integrale vale quindi $0$ , senza bisogno di calcolarlo.

L’area è diversa dall’integrale, perché la funzione cambia segno. Dalla scomposizione $x\,(x - 2)(x + 2)$ si ricava che $f$ è positiva in $(-2, 0)$ e negativa in $(0, 2)$ . Le due regioni sono simmetriche rispetto all’origine, perciò hanno la stessa area, e basta calcolare quella su $[0, 2]$ e moltiplicarla per $2$ . Su $[0, 2]$ la funzione è negativa, quindi l’area è l’integrale di $-f(x) = 4x - x^3$ , che vale $4$ . L’area totale è quindi $8$ .

Esercizio 3

Calcola l’integrale e l’area della regione compresa tra il grafico di $f(x) = \sin x$ e l’asse $x$ nell’intervallo $\left[ 0, \dfrac{3\pi}{2} \right]$ .

\int_0^{\frac{3\pi}{2}} \sin x\,dx = \Big[ -\cos x \Big]_0^{\frac{3\pi}{2}} = 0 - (-1) = 1

\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \Big[ -\cos x \Big]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2 , \qquad \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} (-\sin x)\,dx = \Big[ \cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} = 0 - (-1) = 1

A = 2 + 1 = 3

L’integrale si calcola con la primitiva $-\cos x$ . Poiché $\cos \dfrac{3\pi}{2} = 0$ e $\cos 0 = 1$ , si ottiene $0 - (-1) = 1$ .

Per l’area si tiene conto del segno. Il seno è positivo in $(0, \pi)$ e negativo in $\left( \pi, \dfrac{3\pi}{2} \right)$ . Nel primo intervallo l’area è l’integrale di $\sin x$ , che vale $2$ ; nel secondo l’area è l’integrale di $-\sin x$ , la cui primitiva è $\cos x$ , e vale $1$ . L’area è quindi $3$ . L’integrale, uguale a $2 - 1 = 1$ , è l’area sopra l’asse meno l’area sotto l’asse.

Esercizio 4

Calcola l’area della regione delimitata dal grafico di $f(x) = \ln x$ , dall’asse $x$ e dalla retta $x = e$ .

\ln x = 0 \iff x = 1 , \qquad \ln x \geq 0 \quad \text{per } x \geq 1

\int \ln x\,dx = x \ln x - x + c

A = \int_1^e \ln x\,dx = \Big[ x \ln x - x \Big]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1

Il grafico del logaritmo incontra l’asse $x$ nel punto di ascissa $1$ , perché $\ln 1 = 0$ . La regione è quindi compresa tra $x = 1$ e $x = e$ , dove $\ln x \geq 0$ , ed è il trapezoide di $\ln x$ su $[1, e]$ .

La primitiva $x \ln x - x$ si ottiene con l’integrazione per parti, come si vede nell’argomento sugli integrali indefiniti; derivandola si ottiene $\ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$ . In $x = e$ si ha $\ln e = 1$ , quindi la primitiva vale $e - e = 0$ ; in $x = 1$ vale $0 - 1 = -1$ . L’area è perciò $0 - (-1) = 1$ .