Integrali definiti calcolati con la formula fondamentale

Theory used: Formula fondamentale del calcolo integrale Proprietà dell'integrale definito

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Esercizio 1

Calcola $\displaystyle\int_1^3 \left( 3x^2 - 4x + 1 \right) dx$ .

\int \left( 3x^2 - 4x + 1 \right) dx = x^3 - 2x^2 + x + c

\begin{aligned} \int_1^3 \left( 3x^2 - 4x + 1 \right) dx &= \Big[ x^3 - 2x^2 + x \Big]_1^3 \\[6pt] &= (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) \\[6pt] &= 12 - 0 = 12 \end{aligned}

Per la formula fondamentale del calcolo integrale l’integrale definito è la differenza dei valori di una primitiva negli estremi. La funzione integranda è un polinomio, continuo in $[1, 3]$ , quindi la formula si applica. Una primitiva si trova termine per termine: la primitiva di $3x^2$ è $x^3$ , quella di $-4x$ è $-2x^2$ e quella di $1$ è $x$ . La costante $c$ non serve, perché si elide nella differenza.

Si calcola la primitiva $G(x) = x^3 - 2x^2 + x$ nell’estremo superiore, $G(3) = 12$ , e nell’estremo inferiore, $G(1) = 0$ . La differenza dà il risultato, $12$ .

Esercizio 2

Calcola $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin x + 2\cos x \right) dx$ .

\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin x + 2\cos x \right) dx &= \Big[ -\cos x + 2\sin x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[6pt] &= \left( -\cos \frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos 0 + 2\sin 0 \right) \\[6pt] &= (0 + 2) - (-1 + 0) = 3 \end{aligned}

Una primitiva di $\sin x$ è $-\cos x$ , perché la derivata di $-\cos x$ è $\sin x$ , e una primitiva di $2\cos x$ è $2\sin x$ . Per la linearità la primitiva della somma è la somma delle primitive.

Nell’estremo superiore si usano i valori $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ e $\sin \dfrac{\pi}{2} = 1$ , e la primitiva vale $2$ . Nell’estremo inferiore si usano $\cos 0 = 1$ e $\sin 0 = 0$ , e la primitiva vale $-1$ . Sottraendo un numero negativo si somma il suo opposto, quindi il risultato è $2 + 1 = 3$ .

Esercizio 3

Calcola $\displaystyle\int_1^4 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx$ .

\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} = x^{\frac{1}{2}} + x^{-2} \qquad \Longrightarrow \qquad \int \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{-2} \right) dx = \frac{2}{3}\,x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{x} + c

\begin{aligned} \int_1^4 \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx &= \left[ \frac{2}{3}\,x\sqrt{x} - \frac{1}{x} \right]_1^4 \\[6pt] &= \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{2}{3} - 1 \right) \\[6pt] &= \frac{16}{3} - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 1 \\[6pt] &= \frac{14}{3} + \frac{3}{4} = \frac{65}{12} \end{aligned}

La radice e il reciproco del quadrato si scrivono come potenze, così che si possa usare la formula $\displaystyle\int x^{a}\,dx = \dfrac{x^{a + 1}}{a + 1} + c$ , valida per $a \neq -1$ . Per $a = \dfrac{1}{2}$ si ottiene $\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}\,x^{\frac{3}{2}}$ , e per $a = -2$ si ottiene $\dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$ . La potenza $x^{\frac{3}{2}}$ è uguale a $x\sqrt{x}$ , che in $x = 4$ vale $4 \cdot 2 = 8$ .

La funzione integranda è continua in $[1, 4]$ , perché $x$ è positivo, quindi la formula fondamentale si applica. Nell’ultimo passaggio si sommano $\dfrac{16}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{3}$ e $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ ; con il denominatore comune $12$ si ottiene $\dfrac{56}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{65}{12}$ .

Esercizio 4

Calcola $\displaystyle\int_0^4 \left| x^2 - 3x \right| dx$ .

x^2 - 3x = x\,(x - 3) \leq 0 \quad \text{per } 0 \leq x \leq 3 , \qquad x^2 - 3x \geq 0 \quad \text{per } 3 \leq x \leq 4

\int_0^4 \left| x^2 - 3x \right| dx = \int_0^3 \left( 3x - x^2 \right) dx + \int_3^4 \left( x^2 - 3x \right) dx

\int_0^3 \left( 3x - x^2 \right) dx = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}

\begin{aligned} \int_3^4 \left( x^2 - 3x \right) dx &= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right]_3^4 \\[6pt] &= \left( \frac{64}{3} - 24 \right) - \left( 9 - \frac{27}{2} \right) \\[6pt] &= -\frac{8}{3} + \frac{9}{2} = \frac{11}{6} \end{aligned}

\int_0^4 \left| x^2 - 3x \right| dx = \frac{9}{2} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{19}{3}

Per scrivere l’integranda senza il valore assoluto si studia il segno dell’argomento. Il trinomio $x^2 - 3x$ ha radici $0$ e $3$ ed è negativo tra le radici, quindi in $[0, 3]$ si ha $\left| x^2 - 3x \right| = 3x - x^2$ , mentre in $[3, 4]$ il valore assoluto è uguale al trinomio stesso.

Per l’additività rispetto all’intervallo l’integrale su $[0, 4]$ è la somma degli integrali su $[0, 3]$ e su $[3, 4]$ , e in ciascuno dei due l’integranda è un polinomio. Il primo integrale vale $\dfrac{9}{2}$ . Nel secondo la primitiva vale $-\dfrac{8}{3}$ in $4$ e $-\dfrac{9}{2}$ in $3$ , quindi la differenza è $\dfrac{9}{2} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{11}{6}$ . Sommando si ottiene $\dfrac{19}{3}$ . Il risultato è positivo, come deve essere, perché l’integranda è non negativa.