Sottrazioni e somme algebriche

Theory used: Sottrazione di numeri relativi Numeri opposti Somma algebrica Segno meno davanti a una somma algebrica

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Esercizio 1

Calcola le differenze

(+4) - (+10) , \qquad (-6) - (+3) , \qquad (+2) - (-9) , \qquad (-7) - (-12) .

(+4) - (+10) = (+4) + (-10) = -6

(-6) - (+3) = (-6) + (-3) = -9

(+2) - (-9) = (+2) + (+9) = +11

(-7) - (-12) = (-7) + (+12) = +5

Per sottrarre un numero relativo si somma l’opposto del secondo numero. In ogni differenza si cambia quindi il segno $-$ dell’operazione in $+$ e si scrive l’opposto del secondo numero, poi si esegue l’addizione.

Nella prima differenza l’opposto di $+10$ è $-10$ . I numeri $+4$ e $-10$ sono discordi, e il valore assoluto maggiore appartiene a $-10$ , perciò la somma è $-(10 - 4) = -6$ . Nella seconda l’opposto di $+3$ è $-3$ , e i numeri $-6$ e $-3$ sono concordi, quindi la somma è $-(6 + 3) = -9$ .

Nella terza l’opposto di $-9$ è $+9$ , e $(+2) + (+9) = +11$ . Nella quarta l’opposto di $-12$ è $+12$ . I numeri $-7$ e $+12$ sono discordi, e il valore assoluto maggiore appartiene a $+12$ , perciò la somma è $+(12 - 7) = +5$ .

Esercizio 2

Togli le parentesi e calcola la somma algebrica

(-5) - (+8) + (+3) - (-6) + (-1) .

\begin{aligned} & (-5) - (+8) + (+3) - (-6) + (-1) \\[6pt] ={} & -5 - 8 + 3 + 6 - 1 \\[6pt] ={} & (3 + 6) - (5 + 8 + 1) \\[6pt] ={} & 9 - 14 \\[6pt] ={} & -5 \end{aligned}

Il primo numero si scrive senza parentesi con il suo segno, cioè $-5$ . Per gli altri si usano le uguaglianze della somma algebrica. Con il segno $+$ davanti il numero mantiene il suo segno, quindi $+(+3) = +3$ e $+(-1) = -1$ . Con il segno $-$ davanti il numero cambia segno, quindi $-(+8) = -8$ e $-(-6) = +6$ .

Nella somma algebrica $-5 - 8 + 3 + 6 - 1$ i termini positivi sono $3$ e $6$ , e la loro somma è $9$ . I termini negativi sono $-5$ , $-8$ e $-1$ , che insieme danno $-14$ . Infine $9 - 14 = -5$ , perché il valore assoluto maggiore appartiene al numero negativo.

Esercizio 3

Calcola

12 - (7 - 15) - (4 + 9 - 20) .

\begin{aligned} & 12 - (7 - 15) - (4 + 9 - 20) \\[6pt] ={} & 12 - 7 + 15 - 4 - 9 + 20 \\[6pt] ={} & (12 + 15 + 20) - (7 + 4 + 9) \\[6pt] ={} & 47 - 20 \\[6pt] ={} & 27 \end{aligned}

Davanti alle espressioni $7 - 15$ e $4 + 9 - 20$ c’è il segno $-$ . Per la regola del segno meno davanti a una somma algebrica, le parentesi si tolgono cambiando il segno di tutti i termini contenuti. Così $-(7 - 15)$ diventa $-7 + 15$ , e $-(4 + 9 - 20)$ diventa $-4 - 9 + 20$ .

Nella somma algebrica ottenuta i termini positivi sono $12$ , $15$ e $20$ , e la loro somma è $47$ . I termini negativi sono $-7$ , $-4$ e $-9$ , e insieme danno $-20$ . Perciò il risultato è $47 - 20 = 27$ .

Lo stesso risultato si ottiene calcolando prima le due espressioni, $7 - 15 = -8$ e $4 + 9 - 20 = -7$ , quindi $12 - (-8) - (-7) = 12 + 8 + 7 = 27$ .

Esercizio 4

Calcola

-3 - [\, 5 - (8 - 2) + (-4) \,] + (6 - 10) .

\begin{aligned} & -3 - [\, 5 - (8 - 2) + (-4) \,] + (6 - 10) \\[6pt] ={} & -3 - [\, 5 - 6 - 4 \,] + (-4) \\[6pt] ={} & -3 - (-5) - 4 \\[6pt] ={} & -3 + 5 - 4 \\[6pt] ={} & -2 \end{aligned}

Si calcolano prima le espressioni nelle parentesi tonde. Si ha $8 - 2 = 6$ e $6 - 10 = -4$ . Nell’espressione $5 - (8 - 2) + (-4)$ il termine $-(8 - 2)$ diventa quindi $-6$ , e il termine $+(-4)$ diventa $-4$ .

Resta la somma algebrica $5 - 6 - 4$ . Il termine positivo è $5$ e i termini negativi danno $-10$ , perciò la somma vale $5 - 10 = -5$ . Il segno $-$ davanti a $-5$ dà $+5$ , e il segno $+$ davanti a $-4$ dà $-4$ .

Resta la somma algebrica $-3 + 5 - 4$ . Il termine positivo è $5$ e i termini negativi danno $-7$ , quindi il risultato è $5 - 7 = -2$ .