Esercizi da fare

Campi vettoriali e teorema di Green

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Campo conservativo e potenziale

Stabilire se il campo

F (x, y) = (3 x^{2} + 2 y, 2 x - 5 y^{4})

è conservativo su $R^{2}$ e, in caso affermativo, determinarne i potenziali.

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Le derivate incrociate valgono entrambe $2$ e $R^{2}$ è semplicemente connesso, quindi il campo è conservativo. I potenziali sono

U (x, y) = x^{3} + 2 x y - y^{5} + k, k \in R .

2. Verifica della condizione necessaria

Stabilire se il campo

F (x, y) = (x^{2} y, x y^{2})

è conservativo su $R^{2}$ .

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Il campo non è conservativo: la derivata di $F_{1}$ rispetto a $y$ vale $x^{2}$ , la derivata di $F_{2}$ rispetto a $x$ vale $y^{2}$ , e le due funzioni non coincidono su $R^{2}$ , quindi la condizione necessaria di irrotazionalità non è soddisfatta.

3. Potenziale con esponenziale

Stabilire se il campo

F (x, y) = (2 x e^{y}, x^{2} e^{y} - 2 y)

è conservativo su $R^{2}$ e, in caso affermativo, determinarne i potenziali.

Mostra soluzione

Le derivate incrociate valgono entrambe $2 x e^{y}$ e il dominio è semplicemente connesso, quindi il campo è conservativo. I potenziali sono

U (x, y) = x^{2} e^{y} - y^{2} + k, k \in R .

4. Lavoro con il potenziale

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (y^{2}, 2 x y)

lungo la curva $r (t) = (t^{3}, sin \frac{π t}{2})$ , $t \in [0, 1]$ .

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Il campo è conservativo su $R^{2}$ con potenziale $U (x, y) = x y^{2}$ . La curva va da $(0, 0)$ a $(1, 1)$ , quindi il lavoro vale

U (1, 1) - U (0, 0) = 1.

5. Lavoro con il calcolo diretto

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (y, - x)

lungo il segmento da $(1, 0)$ a $(0, 1)$ .

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Il campo non è conservativo e il calcolo è diretto: con la parametrizzazione $r (t) = (1 - t, t)$ , $t \in [0, 1]$ , l’integrando vale $- 1$ e il lavoro è

\int_{0}^{1} (- 1) d t = - 1.

6. Circuitazione con il teorema di Green

Calcolare la circuitazione del campo

F (x, y) = (x y, x)

lungo la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 1$ percorsa in verso antiorario.

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Per il teorema di Green la circuitazione è l’integrale doppio di $1 - x$ sul cerchio unitario. L’integrale di $x$ sul cerchio è nullo per simmetria e l’integrale di $1$ è l’area, quindi la circuitazione vale

π .

7. Campo di rotazione sul semipiano

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (\frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}})

lungo una qualunque curva regolare a tratti contenuta nel semipiano $x > 0$ , da $(1, 0)$ a $(1, 1)$ .

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Sul semipiano $x > 0$ , che è semplicemente connesso, il campo irrotazionale è conservativo con potenziale $U (x, y) = arctan \frac{y}{x}$ . Il lavoro vale

U (1, 1) - U (1, 0) = \frac{π}{4} .

8. Green su una circonferenza di raggio 3

Calcolare la circuitazione del campo

F (x, y) = (x - y, x + y)

lungo la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 9$ percorsa in verso antiorario.

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Per il teorema di Green l’integrando dell’integrale doppio è $1 - (- 1) = 2$ , quindi la circuitazione è il doppio dell’area del cerchio di raggio $3$ :

2 \cdot 9 π = 18 π .

9. Green sul bordo di un triangolo

Calcolare la circuitazione del campo

F (x, y) = (x^{2}, x y)

lungo il bordo del triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(2, 0)$ , $(0, 2)$ , percorso in verso antiorario.

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Per il teorema di Green la circuitazione è l’integrale doppio di $y$ sul triangolo, descritto da $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 2 - x$ :

\int_{0}^{2} \frac{( 2 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{4}{3} .

10. Area di un'ellisse con Green

Calcolare con la formula di Green l’area della regione racchiusa dall’ellisse

r (t) = (5 cos t, 2 sin t), t \in [0, 2 π] .

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Con la formula $area = \frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ l’integrando vale $10$ in ogni punto, quindi l’area è

\frac{10}{2} \cdot 2 π = 10 π .

11. Area di un quadrilatero con Green

Calcolare con la formula di Green l’area del quadrilatero di vertici $(0, 0)$ , $(4, 1)$ , $(3, 4)$ , $(1, 3)$ , elencati in verso antiorario.

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Sul segmento dal vertice $(x_{i}, y_{i})$ al vertice $(x_{i + 1}, y_{i + 1})$ l’integrale di $\frac{1}{2} (x d y - y d x)$ vale $\frac{1}{2} (x_{i} y_{i + 1} - x_{i + 1} y_{i})$ ; sommando sui quattro lati l’area è

\frac{1}{2} (0 + 13 + 5 + 0) = 9.

12. Campo conservativo nello spazio

Stabilire se il campo

F (x, y, z) = (2 x z, 3 y^{2} z^{2}, x^{2} + 2 y^{3} z)

è conservativo su $R^{3}$ e, in caso affermativo, determinarne i potenziali.

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Il rotore è nullo e $R^{3}$ è semplicemente connesso, quindi il campo è conservativo. I potenziali sono

U (x, y, z) = x^{2} z + y^{3} z^{2} + k, k \in R .

13. Lavoro nello spazio con il potenziale

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y, z) = (y z, x z, x y)

lungo la curva $r (t) = (1 + t, 1 + t^{2}, 1 + t^{3})$ , $t \in [0, 1]$ .

Mostra soluzione

Il campo è conservativo su $R^{3}$ con potenziale $U (x, y, z) = x y z$ . La curva va da $(1, 1, 1)$ a $(2, 2, 2)$ , quindi il lavoro vale

U (2, 2, 2) - U (1, 1, 1) = 8 - 1 = 7.

14. Campo radiale sul piano privato dell'origine

Stabilire se il campo

F (x, y) = (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}})

è conservativo su $A = R^{2} ∖ {(0, 0)}$ e, in caso affermativo, determinarne un potenziale.

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Il campo è conservativo su tutto $A$ , anche se $A$ non è semplicemente connesso: la funzione

U (x, y) = \frac{1}{2} ln (x^{2} + y^{2})

è definita su $A$ e il suo gradiente è $F$ in ogni punto.