Analisi 2

Gli argomenti dell'esame

Funzioni di più variabili, integrali multipli, curve e superfici, serie di funzioni.

1. Funzioni di più variabili

   Lo spazio ℝⁿ con norma, distanza e intorni, gli insiemi del piano, le funzioni di due o più variabili con dominio e insiemi di livello, i limiti in due variabili, la continuità e il teorema di Weierstrass.

2. Calcolo differenziale in più variabili

   Derivate parziali e gradiente, differenziabilità e piano tangente, derivate direzionali e formula del gradiente, regola della catena, derivate seconde e formula di Taylor al secondo ordine.

3. Funzioni implicite

   Quando un'equazione F(x, y) = 0 definisce una funzione y = φ(x), come si calcolano le derivate di φ senza conoscerla, e come il risultato si estende alle superfici e ai sistemi.

4. Massimi e minimi liberi e vincolati

   Dove cercare gli estremi di una funzione di più variabili, come classificarli con la matrice Hessiana, come trattare i compatti e i vincoli con i moltiplicatori di Lagrange.

5. Curve e integrali di linea

   Curve parametriche nel piano e nello spazio, regolarità e vettore tangente, lunghezza e ascissa curvilinea, integrali di linea di prima e di seconda specie con le applicazioni a massa, baricentro e lavoro.

6. Campi vettoriali e teorema di Green

   Campi vettoriali nel piano e nello spazio, lavoro lungo una curva, campi conservativi e potenziale, campi irrotazionali e domini semplicemente connessi, teorema di Green e calcolo di aree.

7. Integrali doppi e tripli

   Come si integra una funzione di due o tre variabili, come un integrale multiplo si riduce a integrali semplici, come i cambiamenti di variabile semplificano il dominio, e come si calcolano aree, volumi, masse e baricentri.

8. Superfici, flussi e teoremi di Gauss e Stokes

   Superfici parametriche regolari, vettore normale e area, integrali di superficie e flusso di un campo, divergenza e rotore, teorema della divergenza e teorema di Stokes.

9. Successioni e serie di funzioni

   La convergenza puntuale e la convergenza uniforme di una successione di funzioni, i teoremi di passaggio per continuità, integrale e derivata, e la convergenza totale per le serie di funzioni.

10. Serie di potenze e serie di Taylor

    Dove converge una serie di potenze, come si calcolano il raggio e l'insieme di convergenza, come si deriva e si integra termine a termine, e come gli sviluppi di Taylor rappresentano le funzioni elementari.

11. Serie di Fourier

    Come una funzione periodica si sviluppa in serie di seni e coseni, come si calcolano i coefficienti, in quali punti e in che senso la serie converge, e come l'uguaglianza di Parseval lega la funzione ai suoi coefficienti.