Teoria

Integrali doppi e tripli

Come si integra una funzione di due o tre variabili, come un integrale multiplo si riduce a integrali semplici, come i cambiamenti di variabile semplificano il dominio, e come si calcolano aree, volumi, masse e baricentri.

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L’integrale doppio su rettangoli
Domini normali e formule di riduzione

L’integrale doppio su rettangoli

Integrale doppio su un rettangolo

Sia $R = [a, b] \times [c, d]$ un rettangolo e sia $f : R \to R$ limitata. Si suddivide $R$ in sottorettangoli $R_{ij}$ con una griglia di punti, si sceglie un punto $(ξ_{ij}, η_{ij})$ in ciascun $R_{ij}$ e si forma la somma di Riemann

S = i, j \sum f (ξ_{ij}, η_{ij}) Area (R_{ij}) .

Se, al tendere a $0$ delle dimensioni dei sottorettangoli, le somme tendono a uno stesso numero per ogni scelta dei punti, $f$ è integrabile su $R$ e quel numero è l’integrale doppio

\iint_{R} f (x, y) d x d y .

Ogni funzione continua su $R$ è integrabile, e l’integrabilità si conserva se $f$ è continua salvo che su un numero finito di curve regolari. Per $f \geq 0$ l’integrale è il volume del solido compreso tra il rettangolo $R$ e il grafico di $f$ , così come in una variabile l’integrale di una funzione positiva è l’area sotto il grafico.

Teorema di riduzione (Fubini) sui rettangoli

Se $f$ è continua su $R = [a, b] \times [c, d]$ , allora

\iint_{R} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y .

Il teorema riduce l’integrale doppio a due integrali semplici in successione: nell’integrale interno una variabile è fissata e si integra rispetto all’altra, poi il risultato, che è una funzione di una sola variabile, si integra a sua volta. La dimostrazione si ottiene raggruppando le somme di Riemann per colonne o per righe e si rimanda ai testi di riferimento. I due ordini di integrazione danno lo stesso valore, quindi si sceglie l’ordine in cui i calcoli sono più semplici.

Riduzione su un rettangolo

\iint_{[0, 1] \times [0, 2]} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{0}^{2} x y^{2} d y) d x = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{8}{3} d x = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{3}

Nell’integrale interno $x$ è una costante, perciò esce dal segno di integrale; resta $\int_{0}^{2} y^{2} d y = \frac{8}{3}$ .

Funzioni a variabili separate

Se $f (x, y) = g (x) h (y)$ con $g$ continua su $[a, b]$ e $h$ continua su $[c, d]$ , allora

\iint_{[a, b] \times [c, d]} g (x) h (y) d x d y = (\int_{a}^{b} g (x) d x) (\int_{c}^{d} h (y) d y) .

Segue dal teorema di Fubini, poiché nell’integrale interno il fattore che non dipende dalla variabile di integrazione esce dal segno di integrale. Il risultato vale soltanto sui rettangoli: su un dominio generico gli estremi dell’integrale interno dipendono dall’altra variabile e la fattorizzazione non è possibile.

Domini normali e formule di riduzione

Dominio normale

Un insieme $D \subseteq R^{2}$ è un dominio normale rispetto all’asse $x$ se esistono due funzioni continue $g_{1}, g_{2} : [a, b] \to R$ con $g_{1} \leq g_{2}$ tali che

D = {(x, y) : {a \leq x \leq b g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)} .

Il dominio è normale rispetto all’asse $y$ se si descrive nello stesso modo scambiando i ruoli: $c \leq y \leq d$ e $h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)$ . Un dominio normale rispetto a $x$ si attraversa con segmenti verticali che entrano dal grafico di $g_{1}$ ed escono dal grafico di $g_{2}$ ; questa descrizione fornisce direttamente gli estremi di integrazione. Il cerchio e il triangolo sono normali rispetto a entrambi gli assi; molte regioni che non sono normali si spezzano nell’unione di domini normali.

Formule di riduzione sui domini normali

Sia $f$ continua su $D$ .

Se $D$ è normale rispetto all’asse $x$ , con $a \leq x \leq b$ e $g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)$ , allora

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y) d x .

Se $D$ è normale rispetto all’asse $y$ , con $c \leq y \leq d$ e $h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)$ , allora

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{c}^{d} (\int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f (x, y) d x) d y .

La variabile esterna percorre un intervallo fisso, mentre gli estremi dell’integrale interno sono funzioni della variabile esterna. Il primo passo di ogni esercizio è quindi la descrizione del dominio in forma normale, con un disegno della regione per leggere le funzioni $g_{1}$ e $g_{2}$ .

Dominio tra una parabola e una retta

Sia $D$ la regione compresa tra la parabola $y = x^{2}$ e la retta $y = x$ . Le due curve si intersecano dove $x^{2} = x$ , cioè in $x = 0$ e $x = 1$ , e per $0 \leq x \leq 1$ si ha $x^{2} \leq x$ . Il dominio è normale rispetto all’asse $x$ :

D = {(x, y) : {0 \leq x \leq 1 x^{2} \leq y \leq x}, \iint_{D} f d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y) d x .

Scambio dell'ordine di integrazione

Quando un dominio è normale rispetto a entrambi gli assi, le due formule di riduzione danno lo stesso valore, perciò l’ordine di integrazione si può scambiare riscrivendo il dominio nell’altra forma. Lo scambio è utile quando l’integrale interno assegnato non si calcola in forma elementare: la funzione $e^{y^{2}}$ non ha primitiva elementare rispetto a $y$ , quindi l’integrale $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x$ si calcola integrando prima rispetto a $x$ . Per scambiare l’ordine si disegna la regione descritta dagli estremi assegnati e la si descrive di nuovo rispetto all’altro asse; gli estremi non si scambiano in modo meccanico.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (proprietà dellintegrale doppio, cambiamento di variabili, simmetrie…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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