Serie di potenze e serie di Taylor

Il rapporto tra i moduli dei coefficienti tende a $\frac{1}{2}$, quindi $R=2$. In $x=\pm 2$ la serie converge assolutamente per confronto con $\sum \frac{1}{n^2}$, perciò $E=[-2,2]$.

Il rapporto tra i coefficienti tende a $3$, quindi $R=\frac{1}{3}$. In $x=\pm \frac{1}{3}$ il termine generale ha modulo $n$, che non tende a $0$, perciò $E=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$.

La radice $n$-esima del coefficiente tende a $\frac{1}{2}$, quindi $R=2$. In $x=\pm 2$ il modulo del termine generale è ${\left(1+\frac{3}{2n+1}\right)}^n\to e^{3/2}\ne 0$, perciò $E=(-2,2)$.

Il rapporto tra i coefficienti oscilla tra $5$ e $\frac{1}{125}$ e non ha limite; la radice $n$-esima vale $5^{-1-(-1{)}^n/n}\to \frac{1}{5}$, quindi $R=5$. In $x=\pm 5$ il modulo del termine generale oscilla tra $\frac{1}{5}$ e $5$ e non tende a $0$, perciò $E=(-5,5)$.

$R=2$ e l’intervallo aperto è $(-1,3)$. In $x=3$ resta la serie armonica, che diverge; in $x=-1$ resta $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$, che converge per il criterio di Leibniz. Quindi $E=[-1,3)$.

$R=3$ e l’intervallo aperto, centrato in $-2$, è $(-5,1)$. In entrambi gli estremi il modulo del termine generale è $\frac{1}{n^2}$, quindi la serie converge assolutamente e $E=[-5,1]$.

Con $t=\frac{x^2}{25}\ge 0$ la serie diventa $\sum \frac{t^n}{n}$, che converge se e solo se $t<1$, cioè $|x|<5$; in $x=\pm 5$ resta la serie armonica, che diverge. Quindi $R=5$ e $E=(-5,5)$.

Raccolto un fattore $x$, con $t=\frac{x^2}{4}$ la serie diventa $x\sum n{t}^n$, che converge se e solo se $|t|<1$, cioè $|x|<2$; in $x=\pm 2$ il termine generale non tende a $0$. Quindi $R=2$ e $E=(-2,2)$.

Dalla serie esponenziale con la sostituzione di $x$ con $-2x$, moltiplicata per $x$:

Raccogliendo il $5$ e usando la serie geometrica di ragione $-\frac{x}{5}$:

Dividendo per $t$ lo sviluppo del seno e integrando termine a termine:

Dall’uguaglianza $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$ calcolata in $x=\frac{1}{5}$:

È lo sviluppo di $\ln (1+x)$ calcolato in $x=\frac{1}{2}$, interno alla regione di validità:

Poiché $e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)$, il numeratore vale $\frac{x^4}{2}+o(x^4)$ e il limite è $\frac{1}{2}$.