Teoria

Successioni e serie di funzioni

La convergenza puntuale e la convergenza uniforme di una successione di funzioni, i teoremi di passaggio per continuità, integrale e derivata, e la convergenza totale per le serie di funzioni.

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Successioni di funzioni e convergenza puntuale
Convergenza uniforme

Successioni di funzioni e convergenza puntuale

Successione di funzioni

Una successione di funzioni è una famiglia $(f_{n})_{n \in N}$ di funzioni $f_{n} : A \to R$ , tutte definite sullo stesso insieme $A \subseteq R$ . Per ogni $x \in A$ fissato, i valori $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x), \dots$ formano una successione numerica. Esempi: $f_{n} (x) = x^{n}$ su $[0, 1]$ , $f_{n} (x) = \frac{sin ( n x )}{n}$ su $R$ . Il capitolo risponde a due domande: in quale senso $f_{n}$ può tendere a una funzione limite $f$ , e quali proprietà di $f_{n}$ (continuità, integrale, derivata) passano alla funzione $f$ .

Convergenza puntuale

La successione $(f_{n})$ converge puntualmente a $f$ su $A$ se per ogni $x \in A$ la successione numerica $f_{n} (x)$ converge a $f (x)$ , cioè se

n \to + \infty lim f_{n} (x) = f (x) per ogni x \in A .

Nella definizione con $ε$ : per ogni $x \in A$ e per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε$ per ogni $n \geq N$ ; l’indice $N$ dipende da $ε$ e anche dal punto $x$ . La convergenza puntuale si studia con i metodi dei limiti di successioni di Analisi 1, un punto alla volta, e determina il candidato limite $f$ : ogni altra nozione di convergenza del capitolo confronta $f_{n}$ con questa funzione.

La successione xⁿ su [0, 1]

$f_{n} (x) = x^{n}$ su $[0, 1]$ . Per $0 \leq x < 1$ la successione geometrica $x^{n}$ tende a $0$ ; per $x = 1$ si ha $f_{n} (1) = 1$ per ogni $n$ . Il limite puntuale è quindi

f (x) = {01 se 0 \leq x < 1 se x = 1

Al crescere di $n$ il grafico si abbassa verso l’asse $x$ su tutto l’intervallo $[0, 1)$ , ma ogni curva risale fino al punto $(1, 1)$ .

y = x³: la curva è già vicina a 0 su metà intervallo, ma arriva comunque in (1, 1)

y = x¹⁵: quasi tutto il grafico è schiacciato sull'asse x, poi risale di colpo verso (1, 1)

Attenzione

Il limite puntuale di funzioni continue può non essere continuo. Ogni $f_{n} (x) = x^{n}$ è continua su $[0, 1]$ , ma il limite puntuale vale $0$ su $[0, 1)$ e $1$ nel punto $1$ , quindi è discontinuo. La convergenza puntuale non conserva la continuità; per conservarla serve la nozione più forte introdotta sotto.

Convergenza uniforme

La successione $(f_{n})$ converge uniformemente a $f$ su $A$ se per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che

∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε per ogni n \geq N e per ogni x \in A .

La differenza rispetto alla convergenza puntuale sta nell’ordine delle richieste: lo stesso indice $N$ funziona per tutti i punti $x \in A$ contemporaneamente. Dal punto di vista geometrico, per $n \geq N$ il grafico di $f_{n}$ è contenuto nel tubo di raggio $ε$ attorno al grafico di $f$ , cioè nella striscia compresa tra $f - ε$ e $f + ε$ . La convergenza uniforme implica quella puntuale; i controesempi sotto mostrano che il viceversa non vale.

Criterio del sup

$(f_{n})$ converge uniformemente a $f$ su $A$ se e solo se

M_{n} = x \in A sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to + \infty 0.

L’equivalenza segue dalla definizione, poiché $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε$ per ogni $x \in A$ equivale a $M_{n} \leq ε$ . Il criterio trasforma lo studio della convergenza uniforme in un problema di Analisi 1: per ogni $n$ si cerca il massimo di $∣ f_{n} - f ∣$ su $A$ , di solito con lo studio della derivata, e poi si calcola il limite della successione numerica $M_{n}$ .

Criterio del sup con lo studio della derivata

$f_{n} (x) = x e^{- n x}$ su $[0, + \infty)$ . Per ogni $x \geq 0$ fissato, $e^{- n x} \to 0$ se $x > 0$ e $f_{n} (0) = 0$ , quindi il limite puntuale è $f = 0$ . Poiché $f_{n} \geq 0$ , si studia $f_{n}$ stessa:

f_{n}^{'} (x) = e^{- n x} (1 - n x),

quindi $f_{n}$ cresce su $[0, \frac{1}{n}]$ e decresce dopo, e il massimo è

M_{n} = f_{n} (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n e} n \to + \infty 0.

Perciò la convergenza è uniforme su $[0, + \infty)$ .

Attenzione

La stessa successione può convergere uniformemente su un insieme e non su un altro. $f_{n} (x) = x^{n}$ converge puntualmente a $0$ su $[0, 1)$ , ma $sup_{x \in [0, 1)} x^{n} = 1$ per ogni $n$ , quindi la convergenza non è uniforme su $[0, 1)$ . Su $[0, a]$ con $0 < a < 1$ risulta $M_{n} = a^{n} \to 0$ , quindi la convergenza è uniforme su ogni intervallo $[0, a]$ . L’insieme su cui si lavora fa parte della risposta.

Osservazione

Lo studio di una successione di funzioni segue uno schema in due tempi. Prima si calcola il limite puntuale $f$ , punto per punto, distinguendo i casi quando l’espressione lo richiede. Poi si studia $M_{n} = sup ∣ f_{n} - f ∣$ sull’insieme assegnato e sugli eventuali sottoinsiemi su cui la convergenza migliora, come negli esempi $[0, a] \subset [0, 1)$ oppure $[δ, + \infty) \subset (0, + \infty)$ .

La teoria continua con 5 altri paragrafi (continuità del limite uniforme, passaggio al limite sotto il segno di integrale, derivazione per successioni…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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