Teoria

Serie di Fourier

Come una funzione periodica si sviluppa in serie di seni e coseni, come si calcolano i coefficienti, in quali punti e in che senso la serie converge, e come l'uguaglianza di Parseval lega la funzione ai suoi coefficienti.

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Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici
Ortogonalità del sistema trigonometrico
Coefficienti e serie di Fourier
Funzioni pari e funzioni dispari

Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici

Funzione periodica

$f : R \to R$ è periodica di periodo $T > 0$ se $f (x + T) = f (x)$ per ogni $x \in R$ . Una funzione definita soltanto su $[- π, π)$ si estende in modo unico a una funzione $2 π$ -periodica su $R$ , il prolungamento periodico, ripetendo i valori su ogni intervallo $[π, 3 π)$ , $[- 3 π, - π)$ e così via. Per una funzione $T$ -periodica integrabile l’integrale su un periodo non dipende dal punto di partenza:

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x per ogni a \in R .

Le funzioni periodiche descrivono fenomeni che si ripetono, come oscillazioni, onde e segnali. La teoria si sviluppa per il periodo $2 π$ , il periodo comune di $sin x$ e $cos x$ , e si trasporta a un periodo qualsiasi con un cambio di variabile.

Polinomio trigonometrico

Un polinomio trigonometrico di grado $N$ è una funzione della forma

s_{N} (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x)),

con $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N}, b_{1}, \dots, b_{N} \in R$ . Ogni polinomio trigonometrico è $2 π$ -periodico e derivabile infinite volte, perché somma finita di seni e coseni. I polinomi trigonometrici sono i mattoni della teoria: la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica come limite di polinomi trigonometrici, così come la serie di Taylor rappresenta una funzione regolare come limite di polinomi algebrici.

Ortogonalità del sistema trigonometrico

Per ogni coppia di interi $n, m \geq 1$ valgono le relazioni

\int_{- π}^{π} cos (n x) cos (m x) d x = {0 π se n \neq = m se n = m \int_{- π}^{π} sin (n x) sin (m x) d x = {0 π se n \neq = m se n = m \int_{- π}^{π} sin (n x) cos (m x) d x = 0, \int_{- π}^{π} cos (n x) d x = \int_{- π}^{π} sin (n x) d x = 0.

Su $[- π, π]$ il prodotto di due funzioni diverse del sistema $1, cos x, sin x, cos (2 x), sin (2 x), \dots$ ha integrale nullo. Questa proprietà permette di isolare un coefficiente alla volta nello sviluppo di una funzione, ed è il fondamento delle formule per i coefficienti di Fourier.

Dimostrazione

Per ogni intero $k \neq = 0$ si ha $\int_{- π}^{π} cos (k x) d x = [\frac{sin ( k x )}{k}]_{- π}^{π} = 0$ , poiché $sin (k π) = 0$ ; l’integrale di $sin (k x)$ è nullo perché la funzione è dispari sull’intervallo simmetrico. Per i prodotti si applicano le formule di Werner:

cos (n x) cos (m x) = \frac{cos ( ( n - m ) x ) + cos ( ( n + m ) x )}{2} .

Se $n \neq = m$ entrambi gli addendi sono coseni di multipli interi non nulli di $x$ , quindi i loro integrali sono nulli. Se $n = m$ il primo addendo è $cos 0 = 1$ , perciò

\int_{- π}^{π} cos^{2} (n x) d x = \int_{- π}^{π} \frac{1 + cos ( 2 n x )}{2} d x = π .

Per i seni si usa $sin (n x) sin (m x) = \frac{cos ( ( n - m ) x ) - cos ( ( n + m ) x )}{2}$ e si ragiona allo stesso modo. Infine $sin (n x) cos (m x)$ è una funzione dispari, prodotto di una dispari e di una pari, quindi il suo integrale su $[- π, π]$ è nullo.

Coefficienti e serie di Fourier

Coefficienti di un polinomio trigonometrico

Se $f$ è il polinomio trigonometrico $\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x))$ , allora per ogni $n = 0, 1, \dots, N$ e $m = 1, \dots, N$

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos (n x) d x, b_{m} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (m x) d x .

I coefficienti di un polinomio trigonometrico si recuperano dalla funzione con un integrale. Le stesse formule hanno senso per qualunque funzione integrabile, e questo suggerisce di adottarle come definizione dei coefficienti per una funzione periodica qualsiasi.

Dimostrazione

Si moltiplica $f$ per $cos (m x)$ e si integra su $[- π, π]$ ; poiché la somma è finita, l’integrale si distribuisce sugli addendi. Per l’ortogonalità del sistema trigonometrico ogni addendo ha integrale nullo, tranne quello con $cos (m x) cos (m x)$ , che vale $a_{m} π$ . Quindi $\int_{- π}^{π} f (x) cos (m x) d x = a_{m} π$ , cioè la formula per $a_{m}$ . Per $m = 0$ si integra $f$ direttamente: ogni seno e coseno ha integrale nullo e resta $\frac{a _{0}}{2} \cdot 2 π = a_{0} π$ . Moltiplicando per $sin (m x)$ si ottiene allo stesso modo la formula per $b_{m}$ .

Coefficienti di Fourier

Sia $f$ una funzione $2 π$ -periodica integrabile su $[- π, π]$ . I coefficienti di Fourier di $f$ sono

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos (n x) d x (n \geq 0), b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin (n x) d x (n \geq 1) .

Il termine costante dello sviluppo è $\frac{a _{0}}{2}$ , e la divisione per $2$ fa sì che la formula di $a_{n}$ valga anche per $n = 0$ senza eccezioni. Il valore $\frac{a _{0}}{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) d x$ è la media di $f$ su un periodo.

Serie di Fourier

La serie di Fourier di $f$ è la serie di funzioni

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x)),

dove $a_{n}$ e $b_{n}$ sono i coefficienti di Fourier di $f$ . Il simbolo $\sim$ indica che la serie è associata a $f$ , non che la somma coincide con $f (x)$ : la convergenza della serie e il valore della somma sono questioni separate, risolte dai teoremi di convergenza puntuale e uniforme.

Serie di Fourier del dente di sega

Sia $f$ il prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = x$ , $x \in [- π, π)$ . La funzione $x cos (n x)$ è dispari, quindi $a_{n} = 0$ per ogni $n \geq 0$ . Per i $b_{n}$ si integra per parti:

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x sin (n x) d x = \frac{1}{π} [- \frac{x cos ( n x )}{n}]_{- π}^{π} + \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \frac{cos ( n x )}{n} d x = \frac{1}{π} \cdot (- \frac{2 π cos ( nπ )}{n}) + 0 = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n},

poiché $cos (nπ) = (- 1)^{n}$ . La serie di Fourier è

x \sim n = 1 \sum \infty \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin (n x) = 2 sin x - sin (2 x) + \frac{2}{3} sin (3 x) - \dots

Funzioni pari e funzioni dispari

Serie di soli coseni e di soli seni

Sia $f$ una funzione $2 π$ -periodica integrabile su $[- π, π]$ .

Se $f$ è pari, allora $b_{n} = 0$ per ogni $n \geq 1$ e $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) cos (n x) d x$ : la serie è di soli coseni.
Se $f$ è dispari, allora $a_{n} = 0$ per ogni $n \geq 0$ e $b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) sin (n x) d x$ : la serie è di soli seni.

La proposizione segue dalla parità dei prodotti: se $f$ è pari, $f (x) sin (n x)$ è dispari e il suo integrale sull’intervallo simmetrico $[- π, π]$ è nullo, mentre $f (x) cos (n x)$ è pari e il suo integrale è il doppio dell’integrale su $[0, π]$ ; per $f$ dispari i ruoli si scambiano. Riconoscere la simmetria prima di calcolare dimezza il lavoro, perciò il controllo di parità è il primo passo di ogni sviluppo in serie di Fourier.

Serie di Fourier di x²

Sia $f$ il prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = x^{2}$ , $x \in [- π, π]$ . La funzione è pari, quindi $b_{n} = 0$ e bastano gli $a_{n}$ . Il coefficiente $a_{0}$ vale

a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x^{2} d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ^{3}}{3} = \frac{2 π ^{2}}{3} .

Per $n \geq 1$ si integra per parti due volte; i termini con $sin (nπ)$ sono nulli, quindi

a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x^{2} cos (n x) d x = \frac{2}{π} ([\frac{x ^{2} sin ( n x )}{n}]_{0}^{π} - \frac{2}{n} \int_{0}^{π} x sin (n x) d x) = - \frac{4}{nπ} ([- \frac{x cos ( n x )}{n}]_{0}^{π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{π} cos (n x) d x) = \frac{4 cos ( nπ )}{n ^{2}} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} .

La serie di Fourier è

x^{2} \sim \frac{π ^{2}}{3} + n = 1 \sum \infty \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos (n x) .

La teoria continua con 4 altri paragrafi (convergenza puntuale, convergenza uniforme, luguaglianza di parseval…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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