Teoria

Campi vettoriali e teorema di Green

Campi vettoriali nel piano e nello spazio, lavoro lungo una curva, campi conservativi e potenziale, campi irrotazionali e domini semplicemente connessi, teorema di Green e calcolo di aree.

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Campi vettoriali
Lavoro e circuitazione
Campi conservativi e potenziale
Indipendenza dal cammino

Campi vettoriali

Campo vettoriale

Un campo vettoriale su un aperto $A \subseteq R^{2}$ è una funzione $F : A \to R^{2}$ che a ogni punto associa un vettore,

F (x, y) = (F_{1} (x, y), F_{2} (x, y)),

dove $F_{1}$ e $F_{2}$ , le componenti del campo, sono funzioni scalari su $A$ . Nello spazio un campo vettoriale su $A \subseteq R^{3}$ ha tre componenti, $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ . Il campo si dice di classe $C^{k}$ se le sue componenti sono di classe $C^{k}$ . Un campo vettoriale è il modello matematico di una forza che dipende dal punto, come il campo gravitazionale o un campo elettrico; il disegno tipico mostra in ogni punto del piano una freccia con la direzione e la lunghezza del vettore associato.

Esempio

$F (x, y) = (- y, x)$ è un campo vettoriale di classe $C^{\infty}$ su $R^{2}$ . In ogni punto il vettore $(- y, x)$ è perpendicolare al vettore posizione $(x, y)$ , poiché il prodotto scalare $(- y) \cdot x + x \cdot y$ è nullo, quindi le frecce ruotano attorno all’origine in verso antiorario. Un esempio nello spazio è il campo $F (x, y, z) = (y z, x z, x y)$ , di classe $C^{\infty}$ su $R^{3}$ .

Osservazione

Ogni funzione scalare $f$ di classe $C^{1}$ su un aperto $A$ genera un campo vettoriale, il suo gradiente $\nabla f = (f_{x}, f_{y})$ . La domanda centrale di questo capitolo è quella inversa: dato un campo $F$ , stabilire se esiste una funzione scalare di cui $F$ è il gradiente. Per il gradiente si rimanda al capitolo sul calcolo differenziale.

Lavoro e circuitazione

L’integrale di linea di seconda specie di un campo $F$ lungo una curva orientata $γ$ si chiama lavoro di $F$ lungo $γ$ . Nel piano si scrive anche nella forma

\int_{γ} F_{1} d x + F_{2} d y,

che nel calcolo diventa $\int_{a}^{b} (F_{1} (r (t)) x^{'} (t) + F_{2} (r (t)) y^{'} (t)) d t$ . Se la curva è chiusa, cioè $r (a) = r (b)$ , il lavoro si chiama circuitazione di $F$ lungo $γ$ e si indica con

\oint_{γ} F \cdot d r .

Il nome viene dalla fisica: se $F$ è una forza, l’integrale misura il lavoro compiuto dalla forza su un punto materiale che percorre la curva. La circuitazione è lo strumento con cui si riconoscono i campi non conservativi, come mostra il teorema di caratterizzazione.

Calcolo di un lavoro

Lavoro di $F (x, y) = (y, x^{2})$ lungo il segmento da $(0, 0)$ a $(1, 1)$ , parametrizzato da $r (t) = (t, t)$ con $t \in [0, 1]$ . Poiché $r^{'} (t) = (1, 1)$ e $F (r (t)) = (t, t^{2})$ , il lavoro è

\int_{0}^{1} (t \cdot 1 + t^{2} \cdot 1) d t = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .

Campi conservativi e potenziale

Campo conservativo e potenziale

Un campo vettoriale $F$ continuo su un aperto connesso $A$ si dice conservativo in $A$ se esiste una funzione $U : A \to R$ di classe $C^{1}$ tale che

\nabla U (x) = F (x) per ogni x \in A .

La funzione $U$ si chiama potenziale di $F$ in $A$ . Nel piano la condizione significa $U_{x} = F_{1}$ e $U_{y} = F_{2}$ ; nello spazio si aggiunge $U_{z} = F_{3}$ . La proprietà dipende dall’insieme $A$ : lo stesso campo può essere conservativo su un aperto e non esserlo su un aperto più grande, come mostra il controesempio del campo di rotazione.

Esempio

$F (x, y) = (2 x, 2 y)$ è conservativo su $R^{2}$ con potenziale $U (x, y) = x^{2} + y^{2}$ , poiché $U_{x} = 2 x = F_{1}$ e $U_{y} = 2 y = F_{2}$ . Anche $U (x, y) = x^{2} + y^{2} + 7$ è un potenziale dello stesso campo, perciò il potenziale non è unico.

Lavoro di un campo conservativo

Sia $F$ conservativo su un aperto connesso $A$ con potenziale $U$ e sia $γ$ una curva regolare a tratti con sostegno in $A$ , dal punto $P$ al punto $Q$ . Allora

\int_{γ} F \cdot d r = U (Q) - U (P) .

Il lavoro dipende solo dagli estremi della curva e non dal cammino che li congiunge; in particolare la circuitazione lungo ogni curva chiusa è nulla. Questo teorema è l’analogo in più variabili del teorema fondamentale del calcolo integrale e negli esercizi sostituisce il calcolo diretto dell’integrale di linea: trovato un potenziale, il lavoro è una differenza di due valori.

Dimostrazione

Sia $r : [a, b] \to A$ una parametrizzazione regolare di $γ$ con $r (a) = P$ e $r (b) = Q$ , e sia $g (t) = U (r (t))$ . Poiché $U$ è di classe $C^{1}$ , per la regola della catena $g$ è derivabile e

g^{'} (t) = \nabla U (r (t)) \cdot r^{'} (t) = F (r (t)) \cdot r^{'} (t) .

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi,

\int_{γ} F \cdot d r = \int_{a}^{b} g^{'} (t) d t = g (b) - g (a) = U (Q) - U (P) .

Se la curva è regolare a tratti, si applica il ragionamento su ciascun tratto e si sommano i risultati; le somme ai punti di raccordo si semplificano a coppie.

Osservazione

Su un aperto connesso due potenziali dello stesso campo differiscono per una costante. Infatti, se $\nabla U = \nabla V = F$ , la differenza $W = U - V$ ha gradiente nullo in ogni punto; su un aperto connesso una funzione $C^{1}$ con gradiente nullo è costante, perciò $U = V + c$ . Per questo motivo il potenziale si scrive sempre con una costante additiva arbitraria, come la primitiva di una funzione di una variabile.

Indipendenza dal cammino

Caratterizzazione dei campi conservativi

Sia $F$ un campo vettoriale continuo su un aperto connesso $A$ . Le tre condizioni seguenti sono equivalenti.

$F$ è conservativo in $A$ .
Il lavoro di $F$ dipende solo dagli estremi: per ogni coppia di curve regolari a tratti in $A$ con gli stessi estremi e lo stesso verso, i due lavori coincidono.
La circuitazione di $F$ lungo ogni curva chiusa regolare a tratti in $A$ è nulla.

Il teorema fornisce il criterio con cui si dimostra che un campo non è conservativo: trovata una sola curva chiusa con circuitazione diversa da zero, la condizione 3 non è soddisfatta, quindi il potenziale non esiste. La stessa equivalenza giustifica la costruzione del potenziale come lavoro lungo una spezzata.

Dimostrazione

La condizione 1 implica la condizione 2 per il teorema sul lavoro di un campo conservativo, poiché il lavoro vale $U (Q) - U (P)$ qualunque sia la curva da $P$ a $Q$ .

Le condizioni 2 e 3 sono equivalenti. Se il lavoro dipende solo dagli estremi e $γ$ è chiusa con punto iniziale e finale $P$ , la curva costante in $P$ ha gli stessi estremi e lavoro nullo, quindi la circuitazione lungo $γ$ è nulla; in modo più diretto, spezzata $γ$ in due archi $γ_{1}$ e $γ_{2}$ da $P$ a $Q$ , i lavori lungo $γ_{1}$ e lungo $γ_{2}$ coincidono, perciò il lavoro lungo $γ_{1}$ seguito da $γ_{2}$ invertita, cioè lungo $γ$ , è nullo. Viceversa, se ogni circuitazione è nulla e $γ_{1}$ , $γ_{2}$ sono due curve da $P$ a $Q$ , la curva ottenuta percorrendo $γ_{1}$ e poi $γ_{2}$ in verso opposto è chiusa, quindi il suo lavoro è nullo, e i lavori lungo $γ_{1}$ e $γ_{2}$ coincidono.

La condizione 2 implica la condizione 1. Fissato $P_{0} \in A$ , per ogni $x \in A$ si definisce $U (x)$ come il lavoro di $F$ lungo una qualunque curva regolare a tratti in $A$ da $P_{0}$ a $x$ ; una tale curva esiste perché un aperto connesso di $R^{n}$ è connesso per spezzate, e il valore non dipende dalla curva per l’ipotesi. Si verifica che $U_{x} = F_{1}$ nel punto $(x, y)$ : per $h$ piccolo il segmento orizzontale da $(x, y)$ a $(x + h, y)$ è contenuto in $A$ , e scegliendo come cammino per $(x + h, y)$ un cammino per $(x, y)$ seguito dal segmento si ottiene

U (x + h, y) - U (x, y) = \int_{0}^{1} F_{1} (x + t h, y) h d t,

poiché sul segmento la seconda componente della parametrizzazione $r (t) = (x + t h, y)$ è costante. Dividendo per $h$ e passando al limite per $h \to 0$ , per la continuità di $F_{1}$ il rapporto incrementale tende a $F_{1} (x, y)$ . Lo stesso ragionamento con segmenti verticali dà $U_{y} = F_{2}$ . Le derivate parziali di $U$ coincidono con le componenti di $F$ , che sono continue, quindi $U$ è di classe $C^{1}$ e $\nabla U = F$ .

La teoria continua con 5 altri paragrafi (campi irrotazionali, domini semplicemente connessi, costruzione del potenziale…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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