Teoria

Massimi e minimi liberi e vincolati

Dove cercare gli estremi di una funzione di più variabili, come classificarli con la matrice Hessiana, come trattare i compatti e i vincoli con i moltiplicatori di Lagrange.

In questa pagina

Massimi e minimi liberi
Punti critici e teorema di Fermat
La matrice Hessiana e la classificazione dei punti critici
Il caso degenere: studio diretto del segno

Massimi e minimi liberi

Massimo e minimo, locale e assoluto

Sia $f : A \to R$ con $A \subseteq R^{2}$ e sia $(x_{0}, y_{0}) \in A$ .

$(x_{0}, y_{0})$ è punto di massimo assoluto se $f (x, y) \leq f (x_{0}, y_{0})$ per ogni $(x, y) \in A$ .
$(x_{0}, y_{0})$ è punto di massimo locale se esiste $r > 0$ tale che $f (x, y) \leq f (x_{0}, y_{0})$ per ogni $(x, y) \in A$ con $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < r$ .

Con le disuguaglianze opposte si definiscono il minimo assoluto e il minimo locale; massimi e minimi si chiamano estremi. Le definizioni sono le stesse del caso di una variabile, con l’intorno circolare al posto dell’intervallo, e si estendono senza modifiche a $R^{n}$ . Un estremo assoluto è anche locale; il viceversa non è vero, perciò le due nozioni richiedono strumenti diversi: per gli estremi locali il calcolo differenziale, per quelli assoluti un confronto tra i valori nei candidati.

Esempio

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ha in $(0, 0)$ un punto di minimo assoluto, poiché $f (x, y) \geq 0 = f (0, 0)$ per ogni $(x, y) \in R^{2}$ . La stessa funzione non ha massimo, perché lungo l’asse $x$ si ha $f (x, 0) = x^{2} \to + \infty$ .

Punti critici e teorema di Fermat

Punto critico

Sia $f$ dotata di derivate parziali in $(x_{0}, y_{0})$ interno al dominio. Il punto $(x_{0}, y_{0})$ è critico (o stazionario) per $f$ se il gradiente si annulla, cioè se le due condizioni sono soddisfatte insieme:

{f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

La ricerca dei punti critici è la risoluzione di questo sistema di due equazioni in due incognite. Nei punti critici il piano tangente al grafico è orizzontale.

Teorema di Fermat in più variabili

Sia $(x_{0}, y_{0})$ un punto di estremo locale per $f$ , interno al dominio, e supponiamo che $f$ abbia derivate parziali in $(x_{0}, y_{0})$ . Allora $(x_{0}, y_{0})$ è un punto critico:

\nabla f (x_{0}, y_{0}) = (0, 0) .

Il teorema dice dove cercare gli estremi liberi: tra i punti critici, oltre agli eventuali punti interni dove $f$ non è derivabile e ai punti del bordo del dominio. Per $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x$ il sistema $f_{x} = 2 x - 4 = 0$ , $f_{y} = 2 y = 0$ ha l’unica soluzione $(2, 0)$ , quindi ogni eventuale estremo libero è in $(2, 0)$ .

Dimostrazione

Sia $(x_{0}, y_{0})$ un punto di massimo locale (per il minimo si ragiona allo stesso modo). La funzione di una variabile $g (t) = f (t, y_{0})$ è definita in un intorno di $t = x_{0}$ , perché il punto è interno al dominio, ed è derivabile in $x_{0}$ con $g^{'} (x_{0}) = f_{x} (x_{0}, y_{0})$ . Poiché $f$ ha un massimo locale in $(x_{0}, y_{0})$ , la restrizione $g$ ha un massimo locale nel punto interno $x_{0}$ , quindi per il teorema di Fermat in una variabile $g^{'} (x_{0}) = 0$ , cioè $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0$ . Applicando lo stesso argomento a $h (t) = f (x_{0}, t)$ si ottiene $f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$ .

Punto di sella

Un punto critico che non è di estremo locale si chiama punto di sella. Il nome viene dal grafico di $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ : l’origine è critica, ma $f (x, 0) = x^{2} > 0$ e $f (0, y) = - y^{2} < 0$ per $x, y \neq = 0$ , quindi in ogni intorno dell’origine la funzione assume valori sia maggiori sia minori di $f (0, 0) = 0$ e l’origine non è un estremo. Il teorema di Fermat fornisce una condizione necessaria e non sufficiente, perciò dopo la ricerca dei punti critici serve uno strumento che li classifichi.

La matrice Hessiana e la classificazione dei punti critici

Matrice Hessiana

Sia $f$ di classe $C^{2}$ in un aperto. La matrice Hessiana di $f$ in $(x_{0}, y_{0})$ è la matrice delle derivate seconde

H_{f} (x_{0}, y_{0}) = (f_{xx} (x_{0}, y_{0}) f_{y x} (x_{0}, y_{0}) f_{x y} (x_{0}, y_{0}) f_{y y} (x_{0}, y_{0})) .

Poiché $f$ è di classe $C^{2}$ , per il teorema di Schwarz le derivate miste coincidono, quindi la matrice è simmetrica. La Hessiana svolge in due variabili il ruolo della derivata seconda in una variabile: il suo segno, nel senso definito sotto, classifica i punti critici.

Segno di una matrice simmetrica

Una matrice simmetrica $H$ di ordine $2$ si dice

definita positiva se i suoi autovalori sono entrambi positivi;
definita negativa se i suoi autovalori sono entrambi negativi;
indefinita se ha un autovalore positivo e uno negativo;
semidefinita (caso degenere) se almeno un autovalore è nullo, cioè se $det H = 0$ .

Per una matrice di ordine $2$ il segno si legge dal determinante e dal primo elemento, senza calcolare gli autovalori: poiché $det H$ è il prodotto degli autovalori, $det H > 0$ significa autovalori concordi, con il segno comune dato dal segno di $f_{xx}$ , mentre $det H < 0$ significa autovalori discordi. In $n$ variabili lo stesso criterio usa i minori principali di nord-ovest (criterio di Sylvester) e si rimanda al corso di algebra lineare.

Classificazione con la matrice Hessiana

Sia $f$ di classe $C^{2}$ e sia $(x_{0}, y_{0})$ un punto critico con Hessiana $H = H_{f} (x_{0}, y_{0})$ .

Se $det H > 0$ e $f_{xx} (x_{0}, y_{0}) > 0$ , allora $(x_{0}, y_{0})$ è un punto di minimo locale.
Se $det H > 0$ e $f_{xx} (x_{0}, y_{0}) < 0$ , allora $(x_{0}, y_{0})$ è un punto di massimo locale.
Se $det H < 0$ , allora $(x_{0}, y_{0})$ è un punto di sella.
Se $det H = 0$ , il criterio non decide e il punto va studiato direttamente.

La dimostrazione usa la formula di Taylor al secondo ordine: vicino al punto critico la differenza $f (x, y) - f (x_{0}, y_{0})$ ha il segno della forma quadratica associata alla Hessiana, e si rimanda al capitolo sul calcolo differenziale in più variabili. Nei calcoli il criterio si applica così: si trova ogni punto critico risolvendo il sistema $\nabla f = (0, 0)$ , si calcolano le tre derivate seconde nel punto e si guardano $det H$ e $f_{xx}$ .

Applicazione del criterio

$f (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} - 6 y$ . Il sistema $f_{x} = 2 x = 0$ , $f_{y} = 6 y - 6 = 0$ ha l’unica soluzione $(0, 1)$ . Le derivate seconde sono $f_{xx} = 2$ , $f_{y y} = 6$ , $f_{x y} = 0$ , quindi $det H = 12 > 0$ e $f_{xx} = 2 > 0$ : il punto $(0, 1)$ è di minimo locale, con $f (0, 1) = - 3$ .

Il caso degenere: studio diretto del segno

Studio diretto del segno

Quando $det H = 0$ nel punto critico, la classificazione si ottiene studiando il segno della differenza

f (x, y) - f (x_{0}, y_{0})

vicino al punto. Se la differenza è $\geq 0$ in un intorno, il punto è di minimo locale; se è $\leq 0$ , di massimo locale; se in ogni intorno assume entrambi i segni, il punto è di sella. Per stabilire il segno si usano due tecniche, spesso insieme: riconoscere una somma di quantità non negative (quadrati, potenze pari), oppure calcolare la differenza lungo curve che passano per il punto (rette, parabole) alla ricerca di segni diversi. Per $f (x, y) = x^{2} + y^{4}$ l’origine è critica con Hessiana degenere, e poiché $f (x, y) \geq 0 = f (0, 0)$ ovunque, l’origine è un punto di minimo assoluto.

Attenzione

Lungo le rette il segno può essere costante anche in un punto di sella. Per $f (x, y) = (y - x^{2}) (y - 4 x^{2})$ l’origine è critica con Hessiana degenere e la restrizione a ogni retta per l’origine ha un minimo in $0$ ; sulla parabola $y = 2 x^{2}$ risulta invece $f = - 2 x^{4} < 0$ , mentre sull’asse $y$ risulta $f = y^{2} > 0$ , quindi l’origine è un punto di sella. Un numero finito di restrizioni può escludere l’estremo, ma non basta mai a dimostrarlo; l’estremo si dimostra con una stima valida in tutto un intorno.

La teoria continua con 4 altri paragrafi (estremi assoluti su insiemi compatti, estremi vincolati i moltiplicatori di lagrange, due vincoli in tre variabili…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

Sblocca ora →

Argomento successivo: Curve e integrali di linea →