Massimi e minimi liberi e vincolati

L’unico punto critico è $(2,-1)$; poiché $\det H=3>0$ e $f_{xx}=2>0$, è un punto di minimo locale, con

I punti critici sono tre: $(0,0)$ è un punto di sella ($\det H=-16<0$), mentre $(1,1)$ e $(-1,-1)$ sono punti di minimo locale con

I punti critici sono $(1,1)$ e $(-1,-1)$. In $(1,1)$ si ha $\det H=12>0$ e $f_{xx}=2>0$, quindi è un punto di minimo locale con $f(1,1)=-2$; in $(-1,-1)$ si ha $\det H=-12<0$, quindi è un punto di sella.

I punti critici sono tutti e soli i punti dei due assi, dove la Hessiana è degenere. Poiché $f(x,y)\ge 0$ e $f=0$ esattamente sugli assi, ogni punto degli assi è un punto di minimo assoluto, non stretto.

L’unico punto critico è $(1,0)$, con Hessiana degenere. Scrivendo $f(x,y)=(x-1{)}^2+y^4-1\ge -1$ si conclude che $(1,0)$ è un punto di minimo assoluto, con

Il massimo assoluto è $4$, assunto in $(2,0)$; il minimo assoluto è $-1$, assunto in $(0,1)$. Tutti i candidati stanno sulla frontiera.

Il minimo assoluto è $-1$, assunto nel punto critico interno $(0,1)$; il massimo assoluto è $8$, assunto in $(0,-2)$ sulla frontiera, dove $f=4-2y$.

Il massimo assoluto è $2$, assunto nei vertici $(2,0)$ e $(0,2)$; il minimo assoluto è $0$, assunto nell’origine. Il punto critico $(1,1)$ sta sull’ipotenusa e dà il valore $1$.

Il sistema di Lagrange dà i candidati $(4,2)$ e $(-4,-2)$: il massimo vincolato è $10$ in $(4,2)$, il minimo vincolato è $-10$ in $(-4,-2)$.

Minimizzando $x^2+y^2$ con il vincolo $xy=4$ si trovano i punti $(2,2)$ e $(-2,-2)$, con distanza minima

Un massimo non esiste, poiché la curva non è limitata.

I candidati sono $(2,2,2)$ e $(-2,-2,-2)$: il massimo vincolato è $6$, il minimo vincolato è $-6$.

Con il vincolo $xy=36$ il perimetro è $P(x)=2x+\frac{72}{x}$ per $x>0$, con minimo in $x=6$: il rettangolo cercato è il quadrato di lato $6$, con perimetro $24$.

Con base di lato $x$ e altezza $h=\frac{4}{x^2}$, la superficie è $S(x)=x^2+\frac{16}{x}$, minima per $x=2$: la scatola ha base $2\times 2\mathrm{dm}$, altezza $1\mathrm{dm}$ e superficie minima $12{\mathrm{dm}}^2$.