Teoria

Funzioni implicite

Quando un'equazione F(x, y) = 0 definisce una funzione y = φ(x), come si calcolano le derivate di φ senza conoscerla, e come il risultato si estende alle superfici e ai sistemi.

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Il problema
Il teorema di Dini
Derivate successive della funzione implicita

Il problema

Equazione implicita e insieme degli zeri

Sia $F : A \subseteq R^{2} \to R$ . L’equazione $F (x, y) = 0$ individua l’insieme degli zeri

Z = {(x, y) \in A : F (x, y) = 0},

detto anche curva di livello zero di $F$ . Molte curve del piano si presentano in questa forma e non come grafici: la circonferenza $x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ , l’ellisse $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} - 1 = 0$ , la curva $x^{3} + y^{3} - 2 x y = 0$ . Il problema di questo capitolo è stabilire se, vicino a un punto di $Z$ , l’insieme $Z$ coincida con il grafico di una funzione $y = φ (x)$ , e in tal caso calcolarne le derivate.

Funzione definita implicitamente

Sia $(x_{0}, y_{0}) \in Z$ . Una funzione $φ : I \to R$ , con $I$ intorno di $x_{0}$ , è definita implicitamente dall’equazione $F (x, y) = 0$ vicino a $(x_{0}, y_{0})$ se

{φ (x_{0}) = y_{0} F (x, φ (x)) = 0 per ogni x \in I .

La nozione è locale: la stessa equazione può definire funzioni diverse vicino a punti diversi della curva, e vicino ad alcuni punti può non definirne alcuna.

La circonferenza non è un grafico, ma lo è localmente

Per $F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$ l’insieme degli zeri è la circonferenza unitaria, che non è il grafico di alcuna funzione $y = φ (x)$ : a ogni $x \in (- 1, 1)$ corrispondono due punti della curva. Vicino al punto $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ la curva coincide con il grafico di $φ (x) = 1 - x^{2}$ ; vicino a $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ con il grafico di $- 1 - x^{2}$ . Vicino a $(1, 0)$ nessuna funzione di $x$ descrive la curva, perché ogni intorno di $(1, 0)$ contiene, per uno stesso valore $x < 1$ , due punti della circonferenza.

Il ramo superiore della circonferenza: vicino a (3/5, 4/5) la curva è il grafico di y = √(1 − x²)

Osservazione

In generale risolvere $F (x, y) = 0$ rispetto a $y$ per via algebrica non è possibile. L’equazione $y^{5} + y + x = 0$ associa a ogni $x$ una e una sola $y$ , poiché la funzione $y \mapsto y^{5} + y$ è strettamente crescente e assume tutti i valori reali; la soluzione $y = φ (x)$ però non si scrive con funzioni elementari. Il teorema di Dini garantisce esistenza, unicità locale e regolarità della funzione implicita senza esibirla, e ne fornisce le derivate.

Il teorema di Dini

Teorema di Dini (due variabili)

Sia $F$ di classe $C^{1}$ in un aperto $A \subseteq R^{2}$ e sia $(x_{0}, y_{0}) \in A$ tale che

{F (x_{0}, y_{0}) = 0 F_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0.

Allora esistono un intorno $I$ di $x_{0}$ , un intorno $J$ di $y_{0}$ e un’unica funzione $φ : I \to J$ tale che $φ (x_{0}) = y_{0}$ e $F (x, φ (x)) = 0$ per ogni $x \in I$ . Inoltre $φ$ è di classe $C^{1}$ in $I$ e

φ^{'} (x) = - \frac{F _{x} ( x , φ ( x ))}{F _{y} ( x , φ ( x ))} .

Il teorema si usa in due tempi: prima si verificano le due condizioni nel punto assegnato, poi si calcola $φ^{'} (x_{0}) = - \frac{F _{x} ( x _{0} , y _{0} )}{F _{y} ( x _{0} , y _{0} )}$ con i valori delle derivate parziali nel punto, senza conoscere $φ$ .

Dimostrazione

Sia $F_{y} (x_{0}, y_{0}) > 0$ (nel caso opposto si ragiona su $- F$ ). Poiché $F_{y}$ è continua, per la permanenza del segno esiste un rettangolo $R = [x_{0} - a, x_{0} + a] \times [y_{0} - b, y_{0} + b] \subseteq A$ in cui $F_{y} > 0$ . Per ogni $x$ fissato la funzione $y \mapsto F (x, y)$ è dunque strettamente crescente su $[y_{0} - b, y_{0} + b]$ . Poiché $F (x_{0}, y_{0}) = 0$ , risulta $F (x_{0}, y_{0} - b) < 0 < F (x_{0}, y_{0} + b)$ ; per la continuità di $F$ esiste allora $δ \in (0, a]$ tale che

F (x, y_{0} - b) < 0 < F (x, y_{0} + b) per ogni x \in I = (x_{0} - δ, x_{0} + δ) .

Fissato $x \in I$ , la funzione continua $y \mapsto F (x, y)$ cambia segno agli estremi di $[y_{0} - b, y_{0} + b]$ , quindi per il teorema degli zeri esiste $y \in (y_{0} - b, y_{0} + b)$ con $F (x, y) = 0$ ; tale $y$ è unico per la stretta monotonia, e si pone $φ (x) = y$ .

Per la formula della derivata si considera il rapporto incrementale. Posto $P = (x, φ (x))$ e $v = (h, φ (x + h) - φ (x))$ , i punti $P$ e $P + v$ appartengono al rettangolo e $F (P) = F (P + v) = 0$ ; per il teorema di Lagrange applicato lungo il segmento esiste un punto $Q_{h}$ del segmento tale che

0 = F (P + v) - F (P) = F_{x} (Q_{h}) h + F_{y} (Q_{h}) (φ (x + h) - φ (x)),

quindi

\frac{φ ( x + h ) - φ ( x )}{h} = - \frac{F _{x} ( Q _{h} )}{F _{y} ( Q _{h} )} .

Su $R$ la funzione $∣ F_{x} ∣$ è limitata e $F_{y}$ ha minimo positivo, perciò il rapporto incrementale è limitato e $φ (x + h) \to φ (x)$ per $h \to 0$ : $φ$ è continua. Di conseguenza $Q_{h} \to (x, φ (x))$ per $h \to 0$ , e poiché $F_{x}$ e $F_{y}$ sono continue il rapporto incrementale tende a $- \frac{F _{x} ( x , φ ( x ))}{F _{y} ( x , φ ( x ))}$ . Dunque $φ$ è derivabile con la derivata enunciata, che è continua in quanto composizione di funzioni continue, perciò $φ$ è di classe $C^{1}$ .

Applicazione alla circonferenza

$F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$ nel punto $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ . Risulta $F (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} - 1 = 0$ e $F_{y} (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = \frac{8}{5} \neq = 0$ , quindi il teorema di Dini si applica e

φ^{'} (\frac{3}{5}) = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = - \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{2 \cdot \frac{4}{5}} = - \frac{3}{4} .

Il valore coincide con la derivata di $1 - x^{2}$ in $x = \frac{3}{5}$ , che qui è nota; il teorema dà lo stesso risultato anche quando la forma esplicita non esiste.

Lo scambio delle variabili

Il teorema vale con i ruoli di $x$ e $y$ scambiati: se $F (x_{0}, y_{0}) = 0$ e $F_{x} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ , vicino al punto la curva è il grafico di una funzione $x = ψ (y)$ con $ψ^{'} (y) = - \frac{F _{y}}{F _{x}}$ . Nei punti della curva in cui $F_{y} = 0$ e $F_{x} \neq = 0$ la curva resta quindi localmente un grafico, rispetto all’altra variabile, e la retta tangente è verticale. Nei punti in cui $F_{x}$ e $F_{y}$ sono entrambe nulle il teorema non fornisce alcuna informazione, in nessuna delle due direzioni: questi punti si dicono singolari e vanno studiati direttamente.

Attenzione

La condizione $F_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ è sufficiente, non necessaria. Per $F (x, y) = (y - x^{2})^{2}$ il gradiente è nullo in ogni punto dell’insieme degli zeri, eppure l’insieme è il grafico della funzione $y = x^{2}$ . Quando le ipotesi non sono soddisfatte, l’esistenza della funzione implicita non è esclusa: va decisa studiando l’equazione.

Derivate successive della funzione implicita

Derivata seconda della funzione implicita

Se $F$ è di classe $C^{2}$ e il teorema di Dini si applica, la funzione implicita $φ$ è di classe $C^{2}$ e

φ^{''} (x) = - \frac{F _{xx} F _{y}^{2} - 2 F _{x y} F _{x} F _{y} + F _{y y} F _{x}^{2}}{F _{y}^{3}},

con tutte le derivate parziali calcolate in $(x, φ (x))$ . La formula si ottiene derivando rispetto a $x$ l’uguaglianza $φ^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ con la regola della catena e sostituendo di nuovo $φ^{'}$ . Nei punti in cui $φ^{'} (x_{0}) = 0$ , cioè $F_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0$ , la formula si riduce a

φ^{''} (x_{0}) = - \frac{F _{xx} ( x _{0} , y _{0} )}{F _{y} ( x _{0} , y _{0} )} .

Metodo pratico: derivare l'identità

Negli esercizi conviene derivare due volte l’identità $F (x, φ (x)) = 0$ anziché applicare la formula. Per la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 1$ , con $y = φ (x)$ , la prima derivazione dà $2 x + 2 y y^{'} = 0$ , da cui $y^{'} = - \frac{x}{y}$ . Derivando ancora si ottiene $2 + 2 (y^{'})^{2} + 2 y y^{''} = 0$ , quindi

y^{''} = - \frac{1 + ( y ^{'} ) ^{2}}{y} = - \frac{1 + \frac{x ^{2}}{y ^{2}}}{y} = - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{3}} = - \frac{1}{y ^{3}},

dove nell’ultimo passaggio si è usata l’equazione della curva.

Studio locale della funzione implicita

Le derivate prima e seconda permettono di studiare $φ$ senza conoscerla. Il segno di $φ^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ lungo la curva dà la monotonia; i punti stazionari di $φ$ sono i punti della curva in cui $F_{x} = 0$ (con $F_{y} \neq = 0$ ), e in tali punti il segno di $φ^{''} (x_{0}) = - \frac{F _{xx}}{F _{y}}$ decide se $x_{0}$ è punto di massimo locale ( $φ^{''} < 0$ ) o di minimo locale ( $φ^{''} > 0$ ). Il segno di $φ^{''}$ dà inoltre la concavità del ramo di curva.

La teoria continua con 3 altri paragrafi (retta tangente a una curva di livello, il teorema di dini in tre variabili, sistemi di equazioni e matrice jacobiana…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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