Teoria

Curve e integrali di linea

Curve parametriche nel piano e nello spazio, regolarità e vettore tangente, lunghezza e ascissa curvilinea, integrali di linea di prima e di seconda specie con le applicazioni a massa, baricentro e lavoro.

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Curve parametriche
Curve regolari e vettore tangente
Curve equivalenti e orientazione
Lunghezza di una curva

Curve parametriche

Curva parametrica e sostegno

Una curva parametrica è una funzione continua $γ : [a, b] \to R^{2}$ (curva piana) oppure $γ : [a, b] \to R^{3}$ (curva nello spazio). In componenti si scrive $γ (t) = (x (t), y (t))$ oppure $γ (t) = (x (t), y (t), z (t))$ ; la variabile $t$ si chiama parametro. Il sostegno di $γ$ è l’immagine $γ ([a, b])$ , cioè l’insieme dei punti percorsi. La curva è la funzione, non l’insieme di punti: la parametrizzazione contiene anche il verso e la legge con cui il sostegno viene percorso, e per questo due curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Tutti gli integrali di questo capitolo si calcolano a partire da una parametrizzazione.

Stesso sostegno, parametrizzazioni diverse

Le curve

γ (t) = (cos t, sin t), t \in [0, 2 π], δ (t) = (cos 2 t, sin 2 t), t \in [0, π],

hanno lo stesso sostegno, la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario a partire dal punto $(1, 0)$ . La seconda la percorre in metà tempo, quindi con velocità doppia.

Curve semplici e curve chiuse

Una curva $γ : [a, b] \to R^{n}$ è chiusa se $γ (a) = γ (b)$ , cioè se il punto finale coincide con quello iniziale. È semplice se non attraversa due volte lo stesso punto, cioè se $γ$ è iniettiva su $[a, b]$ ; per una curva chiusa si richiede l’iniettività su $[a, b)$ , poiché la coincidenza degli estremi è prevista dalla definizione. La circonferenza $(cos t, sin t)$ su $[0, 2 π]$ è chiusa e semplice. Le curve chiuse semplici delimitano regioni del piano e compaiono nel capitolo sul teorema di Green.

Osservazione

Il grafico di una funzione $f : [a, b] \to R$ è il sostegno della curva $γ (t) = (t, f (t))$ , detta curva cartesiana. Ogni risultato sulle curve parametriche si applica quindi anche ai grafici; per le curve cartesiane le formule del capitolo assumono una forma più semplice, perché $x^{'} (t) = 1$ .

Curve regolari e vettore tangente

Curva regolare

Una curva $γ : [a, b] \to R^{n}$ è regolare se è di classe $C^{1}$ e $γ^{'} (t) \neq = 0$ per ogni $t \in (a, b)$ , dove

γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t)) oppure γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t)) .

Se $γ (t)$ è la posizione di un punto all’istante $t$ , il vettore $γ^{'} (t)$ è la sua velocità. La condizione $γ^{'} (t) \neq = 0$ garantisce che in ogni punto la curva ha una direzione di avanzamento ben definita, quindi una retta tangente; è questa condizione che rende possibile la costruzione degli integrali di linea.

Vettore tangente e retta tangente

Sia $γ$ regolare e sia $t_{0} \in (a, b)$ . Il vettore $γ^{'} (t_{0})$ si chiama vettore tangente a $γ$ in $γ (t_{0})$ ; il versore tangente è

T (t_{0}) = \frac{γ ^{'} ( t _{0} )}{∥ γ ^{'} ( t _{0} )∥} .

La retta tangente alla curva nel punto $γ (t_{0})$ è la retta passante per $γ (t_{0})$ con direzione $γ^{'} (t_{0})$ , di equazione parametrica

r (s) = γ (t_{0}) + s γ^{'} (t_{0}), s \in R .

Il versore tangente indica la direzione e il verso di percorrenza; compare nel legame tra le due specie di integrali di linea.

L'elica circolare

La curva $γ (t) = (cos t, sin t, t)$ , $t \in [0, 2 π]$ , è l’elica circolare: la proiezione sul piano $x y$ percorre la circonferenza unitaria mentre la quota cresce linearmente. Poiché

γ^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1), ∥ γ^{'} (t)∥ = sin^{2} t + cos^{2} t + 1 = 2,

il vettore tangente non è mai nullo, quindi la curva è regolare. La norma costante del vettore velocità rende l’elica un esempio ricorrente negli esercizi su lunghezze e integrali di linea.

Curva regolare a tratti

Una curva $γ : [a, b] \to R^{n}$ continua è regolare a tratti se esiste una suddivisione $a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = b$ tale che la restrizione di $γ$ a ciascun intervallo $[t_{i - 1}, t_{i}]$ è regolare. Sono regolari a tratti le spezzate, formate da segmenti consecutivi, e le concatenazioni di archi di curve regolari. Lunghezza e integrali di linea di una curva regolare a tratti si calcolano sommando i contributi dei singoli tratti; nei punti di giunzione la curva può avere uno spigolo.

Una cuspide

La curva $γ (t) = (t^{2}, t^{3})$ , $t \in [- 1, 1]$ , ha $γ^{'} (t) = (2 t, 3 t^{2})$ , che si annulla per $t = 0$ . La curva non è regolare su $[- 1, 1]$ , ma è regolare a tratti, con la suddivisione nei due intervalli $[- 1, 0]$ e $[0, 1]$ . Il sostegno presenta una cuspide nell’origine: la curva arriva nell’origine scendendo lungo il ramo con $y < 0$ e riparte lungo il ramo con $y > 0$ , con un’inversione del verso di avanzamento verticale.

Attenzione

L’annullarsi di $γ^{'}$ in un punto non implica che il sostegno abbia lì un punto singolare. La curva $γ (t) = (t^{3}, t^{3})$ , $t \in [- 1, 1]$ , ha $γ^{'} (0) = (0, 0)$ , ma il suo sostegno è il segmento della retta $y = x$ tra $(- 1, - 1)$ e $(1, 1)$ , privo di spigoli: lo stesso segmento è il sostegno della curva regolare $δ (t) = (t, t)$ . La regolarità è una proprietà della parametrizzazione, non del sostegno.

Curve equivalenti e orientazione

Curve equivalenti

Due curve regolari $γ : [a, b] \to R^{n}$ e $δ : [c, d] \to R^{n}$ sono equivalenti se esiste una funzione $φ : [c, d] \to [a, b]$ di classe $C^{1}$ , biiettiva e con $φ^{'} (u) \neq = 0$ per ogni $u$ , tale che

δ (u) = γ (φ (u)) per ogni u \in [c, d] .

La funzione $φ$ si chiama cambiamento di parametro e la curva $δ$ una riparametrizzazione di $γ$ . Due curve equivalenti hanno lo stesso sostegno, percorso con leggi diverse. La nozione serve a dare senso agli integrali di linea: le grandezze geometriche e fisiche del capitolo, come la lunghezza e la massa, non dipendono dalla parametrizzazione scelta, e questa indipendenza va verificata.

Orientazione e curva opposta

Poiché $φ^{'}$ è continua e mai nulla su un intervallo, il suo segno è costante. Se $φ^{'} > 0$ , le due curve equivalenti percorrono il sostegno nello stesso verso e si dicono equiorientate; se $φ^{'} < 0$ , lo percorrono in versi opposti. La curva opposta di $γ : [a, b] \to R^{n}$ è

- γ (t) = γ (a + b - t), t \in [a, b],

che percorre lo stesso sostegno dal punto finale a quello iniziale. L’orientazione è irrilevante per gli integrali di prima specie e determina il segno di quelli di seconda specie, come precisato alla fine del capitolo.

Lunghezza di una curva

Sia $γ : [a, b] \to R^{n}$ una curva. A ogni suddivisione $a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = b$ si associa la poligonale di vertici $γ (t_{0}), γ (t_{1}), \dots, γ (t_{k})$ , la cui lunghezza è la somma delle lunghezze dei segmenti. La curva è rettificabile se l’insieme delle lunghezze di queste poligonali è limitato superiormente, e in tal caso la sua lunghezza $L (γ)$ è l’estremo superiore di tale insieme. La definizione formalizza l’idea di approssimare la curva con spezzate sempre più fitte; per il calcolo effettivo si usa la formula integrale del teorema seguente.

Formula della lunghezza

Se $γ : [a, b] \to R^{n}$ è regolare a tratti, allora $γ$ è rettificabile e

L (γ) = \int_{a}^{b} ∥ γ^{'} (t)∥ d t,

cioè, in componenti,

L (γ) = \int_{a}^{b} x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2} d t oppure L (γ) = \int_{a}^{b} x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2} + z^{'} (t)^{2} d t .

Per una curva cartesiana $γ (t) = (t, f (t))$ , $t \in [a, b]$ , la formula diventa

L (γ) = \int_{a}^{b} 1 + f^{'} (t)^{2} d t .

La dimostrazione confronta la lunghezza delle poligonali inscritte con l’integrale della velocità e si rimanda ai testi di riferimento. La formula dice che la lunghezza è l’integrale del modulo della velocità, in accordo con l’interpretazione cinematica: spazio percorso uguale integrale della velocità scalare.

Lunghezza della circonferenza

Per la circonferenza di raggio $r$ , $γ (t) = (r cos t, r sin t)$ con $t \in [0, 2 π]$ , si ha $γ^{'} (t) = (- r sin t, r cos t)$ , quindi $∥ γ^{'} (t)∥ = r$ e

L (γ) = \int_{0}^{2 π} r d t = 2 π r,

in accordo con la geometria elementare.

Invarianza della lunghezza per riparametrizzazione

Se $γ$ e $δ$ sono curve regolari equivalenti, allora $L (γ) = L (δ)$ . La lunghezza è quindi una proprietà geometrica della curva, indipendente dalla parametrizzazione e dal verso di percorrenza, e si può calcolare con la parametrizzazione più comoda.

Dimostrazione

Sia $δ (u) = γ (φ (u))$ con $φ : [c, d] \to [a, b]$ cambiamento di parametro e $φ^{'} > 0$ . Per la regola della catena $δ^{'} (u) = γ^{'} (φ (u)) φ^{'} (u)$ , quindi $∥ δ^{'} (u)∥ = ∥ γ^{'} (φ (u))∥ φ^{'} (u)$ . Con la sostituzione $t = φ (u)$ , $d t = φ^{'} (u) d u$ , si ottiene

L (δ) = \int_{c}^{d} ∥ γ^{'} (φ (u))∥ φ^{'} (u) d u = \int_{a}^{b} ∥ γ^{'} (t)∥ d t = L (γ) .

Nel caso $φ^{'} < 0$ si ha $∥ δ^{'} (u)∥ = - ∥ γ^{'} (φ (u))∥ φ^{'} (u)$ e la stessa sostituzione scambia gli estremi di integrazione, perciò i due segni meno si compensano e la conclusione non cambia.

Attenzione

La formula misura il cammino percorso dalla parametrizzazione, non la lunghezza del sostegno. La curva $γ (t) = (cos t, sin t)$ su $[0, 4 π]$ percorre due volte la circonferenza unitaria e la formula restituisce $4 π$ , il doppio della lunghezza del sostegno. L’uguaglianza tra le due quantità è garantita per le curve semplici.

La teoria continua con 4 altri paragrafi (ascissa curvilinea, integrali di linea di prima specie, integrali di linea di seconda specie…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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