Esercizi da fare

Integrali doppi e tripli

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Integrale doppio su un rettangolo a variabili separate

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{R} y sin x d x d y, R = [0, π] \times [0, 1] .

Mostra soluzione

La funzione è a variabili separate su un rettangolo, quindi l’integrale è il prodotto

\int_{0}^{π} sin x d x \cdot \int_{0}^{1} y d y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.

2. Integrale doppio su un rettangolo con esponenziale

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{R} x e^{x y} d x d y, R = [0, 1] \times [0, 2] .

Mostra soluzione

Integrando prima rispetto a $y$ , l’integrale interno vale $e^{2 x} - 1$ , quindi

\int_{0}^{1} (e^{2 x} - 1) d x = \frac{e ^{2} - 3}{2} .

3. Integrale doppio su un triangolo

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{T} x d x d y,

dove $T$ è il triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(1, 0)$ e $(1, 1)$ .

Mostra soluzione

Il triangolo è il dominio normale $0 \leq x \leq 1$ , $0 \leq y \leq x$ , quindi

\int_{0}^{1} x \cdot x d x = \frac{1}{3} .

4. Integrale doppio su un dominio parabolico

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{D} (x + y) d x d y, D = {(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^{2}} .

Mostra soluzione

L’integrale interno in $y$ vale $x^{3} + \frac{x ^{4}}{2}$ , quindi

\int_{0}^{1} (x^{3} + \frac{x ^{4}}{2}) d x = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} = \frac{7}{20} .

5. Integrale iterato con scambio dell'ordine

Calcolare l’integrale iterato

\int_{0}^{1} (\int_{x}^{1} cos (y^{2}) d y) d x .

Mostra soluzione

Scambiando l’ordine di integrazione, l’integrale diventa

\int_{0}^{1} y cos (y^{2}) d y = \frac{sin 1}{2} .

6. Integrale doppio in coordinate polari sul cerchio

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{D} \frac{1}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x d y, D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1} .

Mostra soluzione

In coordinate polari l’integrale vale

2 π \int_{0}^{1} \frac{ρ}{1 + ρ ^{2}} d ρ = π ln 2.

7. Baricentro di un quarto di cerchio

Determinare il baricentro della lamina omogenea

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0} .

Mostra soluzione

L’area è $\frac{π}{4}$ e l’integrale di $x$ su $D$ vale $\frac{1}{3}$ ; per la simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$ le due coordinate coincidono, quindi il baricentro è

(\frac{4}{3 π}, \frac{4}{3 π}) .

8. Area con un cambiamento di variabili

Calcolare l’area della regione del primo quadrante delimitata dalle iperboli $x y = 1$ e $x y = 3$ e dalle rette $y = x$ e $y = 2 x$ .

Mostra soluzione

Con le variabili $u = x y$ e $v = \frac{y}{x}$ si ha $d x d y = \frac{d u d v}{2 v}$ , quindi

Area = \int_{1}^{3} \int_{1}^{2} \frac{d v d u}{2 v} = ln 2.

9. Integrale doppio su un'ellisse

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{D} (\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4}) d x d y, D = {(x, y) : \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} \leq 1} .

Mostra soluzione

Con la trasformazione $x = 3 u$ , $y = 2 v$ , di Jacobiano $6$ , l’integrale diventa $6$ volte l’integrale di $u^{2} + v^{2}$ sul cerchio unitario, quindi

6 \cdot \frac{π}{2} = 3 π .

10. Integrale doppio con una simmetria

Calcolare l’integrale doppio

\iint_{D} (x^{3} + 3) d x d y, D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1} .

Mostra soluzione

Il cerchio è simmetrico rispetto all’asse $y$ e $x^{3}$ è dispari in $x$ , quindi il suo integrale è nullo; resta la costante $3$ integrata sull’area $π$ , perciò il risultato è $3 π$ .