Esercizi svolti · Scheda 3

Sfere e gusci sferici carichi

Teoria usata: Campo di una sfera uniformemente carica Campo di un guscio sferico carico Metodo della superficie gaussiana Distribuzioni sferiche non uniformi e a strati Legge di Gauss

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Esercizio 1

Una sfera isolante di raggio $R = 5, 0 cm$ ha la carica $Q = 8, 0 nC$ distribuita uniformemente nel volume. Calcolare il modulo del campo elettrico a distanza $r_{1} = 2, 0 cm$ e $r_{2} = 10 cm$ dal centro e il valore massimo del campo.

E (r) \cdot 4 π r^{2} = \frac{q _{int} ( r )}{ε _{0}}, q_{int} (r) = ⎩ ⎨ ⎧ Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}} Q se r \leq R se r \geq R

E (r_{1}) = \frac{k Q r _{1}}{R ^{3}}, E (r_{2}) = \frac{k Q}{r _{2}^{2}}, E_{m a x} = E (R) = \frac{k Q}{R ^{2}}

E (r_{1}) E (r_{2}) E_{m a x} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 8 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9} \cdot 0 , 020}{0 , 05 0 ^{3}} N/C \approx 1, 2 \cdot 1 0^{4} N/C = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 8 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 1 0 ^{2}} N/C \approx 7, 2 \cdot 1 0^{3} N/C = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 8 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 05 0 ^{2}} N/C \approx 2, 9 \cdot 1 0^{4} N/C

La distribuzione ha simmetria sferica, quindi il campo è radiale e il suo modulo dipende solo da $r$ ; come superficie gaussiana si sceglie la sfera di raggio $r$ concentrica alla carica, attraverso cui il flusso è $E (r) \cdot 4 π r^{2}$ . Il punto a $2, 0 cm$ è interno alla sfera carica, quindi la sfera gaussiana racchiude la frazione $(\frac{2 , 0}{5 , 0})^{3}$ del volume; poiché la densità è uniforme, racchiude la stessa frazione della carica. Il punto a $10 cm$ è esterno, la sfera gaussiana racchiude tutta la carica e il campo è quello di una carica puntiforme $Q$ nel centro.

All’interno il campo cresce in proporzione a $r$ e all’esterno decresce come $\frac{1}{r ^{2}}$ , quindi il massimo si ha sulla superficie della sfera. Come controllo, il campo a $2, 0 cm$ è $\frac{2 , 0}{5 , 0} = 0, 40$ volte il valore sulla superficie, e $0, 40 \cdot 2, 9 \cdot 1 0^{4} N/C \approx 1, 2 \cdot 1 0^{4} N/C$ .

Esercizio 2

Un guscio sferico sottile di raggio $R = 0, 20 m$ porta la carica $Q = - 6, 0 nC$ distribuita uniformemente, e nel suo centro si trova una carica puntiforme $q = + 2, 0 nC$ . Calcolare il campo elettrico a distanza $r_{1} = 0, 10 m$ e $r_{2} = 0, 40 m$ dal centro.

E (r) \cdot 4 π r^{2} = \frac{q _{int} ( r )}{ε _{0}}, q_{int} (r) = {q q + Q se r < R se r > R

E (r_{1}) = \frac{k q}{r _{1}^{2}}, E (r_{2}) = \frac{k ( q + Q )}{r _{2}^{2}}

E (r_{1}) E (r_{2}) = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 1 0 ^{2}} N/C \approx 1, 8 \cdot 1 0^{3} N/C = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot ( - 4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9} )}{0 , 4 0 ^{2}} N/C \approx - 2, 2 \cdot 1 0^{2} N/C

La carica centrale e il guscio hanno lo stesso centro, quindi la distribuzione complessiva ha simmetria sferica e il campo è $E = E (r) \overset{r}{^}$ , dove $E (r)$ è la componente lungo il versore radiale uscente. Per la legge di Gauss applicata alla sfera di raggio $r$ , la componente $E (r)$ dipende solo dalla carica racchiusa.

A $0, 10 m$ la sfera gaussiana è interna al guscio e racchiude solo $q$ ; il guscio, per il teorema sul campo di un guscio sferico, non genera campo al suo interno. Il campo è quindi quello della carica centrale, diretto verso l’esterno. A $0, 40 m$ la sfera gaussiana racchiude anche il guscio e la carica interna è $- 4, 0 nC$ ; la componente radiale è negativa, perciò il campo, di modulo circa $2, 2 \cdot 1 0^{2} N/C$ , è diretto verso il centro.

Esercizio 3

Una sfera cava isolante ha raggio interno $a = 2, 0 cm$ e raggio esterno $b = 4, 0 cm$ , e la regione fra le due superfici è carica con densità uniforme $ρ = 2, 0 \cdot 1 0^{- 6} C/ m^{3}$ . Calcolare la carica totale e il modulo del campo elettrico a distanza $1, 0 cm$ , $3, 0 cm$ e $6, 0 cm$ dal centro.

E(r)

Modulo del campo della sfera cava spessa, con

r

in centimetri ed

E

1 0^{3} N/C

; il campo è nullo nella cavità, massimo sulla superficie esterna

q_{int} (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{4}{3} π ρ (r^{3} - a^{3}) \frac{4}{3} π ρ (b^{3} - a^{3}) = Q se r \leq a se a \leq r \leq b se r \geq b E (r) = \frac{q _{int} ( r )}{4 π ε _{0} r ^{2}}

E (r) = \frac{ρ ( r ^{3} - a ^{3} )}{3 ε _{0} r ^{2}} (a \leq r \leq b), E (r) = \frac{ρ ( b ^{3} - a ^{3} )}{3 ε _{0} r ^{2}} (r \geq b)

Q E (1, 0 cm) E (3, 0 cm) E (6, 0 cm) = \frac{4}{3} π \cdot 2, 0 \cdot 1 0^{- 6} \cdot (0, 04 0^{3} - 0, 02 0^{3}) C \approx 4, 7 \cdot 1 0^{- 10} C = 0 = \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot ( 0 , 03 0 ^{3} - 0 , 02 0 ^{3} )}{3 \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 0 , 03 0 ^{2}} N/C \approx 1, 6 \cdot 1 0^{3} N/C = \frac{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot ( 0 , 04 0 ^{3} - 0 , 02 0 ^{3} )}{3 \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 0 , 06 0 ^{2}} N/C \approx 1, 2 \cdot 1 0^{3} N/C

La densità dipende solo dalla distanza dal centro, quindi la distribuzione ha simmetria sferica e su ogni sfera gaussiana concentrica il flusso è $E (r) \cdot 4 π r^{2}$ . La carica racchiusa dipende dalla regione in cui si trova la sfera gaussiana. Nella cavità la sfera gaussiana non contiene cariche, perciò il campo è nullo. Nello strato carico la sfera gaussiana contiene il materiale compreso fra i raggi $a$ e $r$ , il cui volume è la differenza dei volumi di due sfere, $\frac{4}{3} π (r^{3} - a^{3})$ . All’esterno contiene tutta la carica $Q$ .

Uguagliando il flusso a $\frac{q _{int}}{ε _{0}}$ si ottengono le espressioni di $E (r)$ nelle tre regioni. All’esterno il campo è quello di una carica puntiforme $Q$ nel centro; come controllo, $\frac{k Q}{r ^{2}} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 , 7 \cdot 1 0 ^{- 10}}{0 , 06 0 ^{2}} N/C \approx 1, 2 \cdot 1 0^{3} N/C$ . Il campo è continuo in $r = a$ e in $r = b$ , perché la carica è distribuita in un volume e non su una superficie.